高二数学——复合函数的求导讲义与练习.doc

3.1.5 复合函数的求导一、基础知识梳理：（一）复习引入：几种常见函数的导数公式函数导数 (C为常数)2．和（或差）的导数 (uv)’＝u’v’．3．积的导数 (uv)’＝u’v＋uv’． (Cu)’＝Cu’ ．4．商的导数uv=uv-vuv2(v≠0)（二）讲授新课1．复合函数：对于函数y=f[ϕ (x)],令u= ϕ (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数 u= ϕ (x)是自变量x的函数 则称y=f[ϕ (x)] 是自变量 x的复合函数.例如 y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2 和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．练习1：指出下列函数是怎样复合而成的．2. 复合函数的导数复合函数的求导法则： 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数一般地，设函数u＝j(x)在点x处有导数ux＝j(x)，函数y＝f(u) 在点x的对应点u处有导数yu＝f (u) ，则复合函数y＝f(j(x)) 在点x处也有导数，且 yx ＝yu•ux或写作 f x (j(x))＝f (u) j(x)．例1 求y ＝(3x－2)2的导数．解：法1 y＝[(3x－2)2] ＝(9x2－12x＋4)＝18x－12． 法2 yx＝yu•ux函数y ＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2 ，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．由于yu＝2u，ux＝3，因而 yx＝yu•ux ＝2u•3＝2u•3＝2(3x－2)•3＝18x－12．例2 求y＝(2x＋1)5的导数．解：设y＝u5，u＝2x＋1，则 yx＝yu•ux ＝(u5)u•(2x＋1) x＝5u4•2＝5(2x＋1)4•2＝10(2x＋1)4．例3. 求函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)的导数练习2.. 若，求f’（1）例4.求 的导数解： 设y＝u－4，u＝1－3x，则yx＝yu•ux＝(u－4)u•(1－3x)x＝－4u－5•(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝复合求导法则可以推广到两个以上的中间变量例5.求的导数。

解析：y=u2，u=sinv，v=2x+y’x=y’uu’vv’x练习3. 求y=xtanx的导数.求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导一般地，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量例6．求的导数．解：例7． 求的导数解法1：解法2：练习4. （安徽高考）求 的导数．二．课堂小结复合函数的导数：f x (j(x))＝f (u) j(x)．注意：1.准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.2.复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合运用，通过一些初等函数的导数，逐步掌握复合函数的求导法则三．课后作业1． 求的导数2．求的导数3．求导：（1）（2） （3）（4）4．当时，求证：5．求证：方程只有一个根 6.（2009福建理）若曲线存在垂直轴的切线，求实数a的取值范围7.（2008江苏）直线是曲线 的一条切线，则实数b= 。