毕业设计（论文）幂指函数的极限求法.doc

本科毕业论文（设计）( 2014届 ) 题 目： 幂指函数的极限求法 系 （部）： 数学与计算机科学系 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称（学位）： 讲师 完成时间： 2014 年 4 月 25 日 池州学院教务处制学位论文原创性声明本人所提交的学位论文，是在指导老师指导下独立完成的研究成果.本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明.本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：年 月 日目 录摘 要 1Abstract 21 引 言 32 幂指函数求极限 42.1 直接代值 42.2 重要极限 62.2.1 第二重要极限公式的推广 62.2.2 不同于第二重要极限公式的型变形推广 62.2.3 应用举例 72.3 无穷小等价替换 82.3.1 知识预备 82.3.2 等价无穷小替换定理 82.3.3 举例应用 102.4 洛必达法则 103 一些带参数的幂指函数极限求法 134 总 结 16主要参考文献 17致　　谢 18 池州学院本科毕业论文（设计） 摘 要在函数这一领域，幂指函数占有极其重要的地位.在高等数学的学习过程中，以及在日常的实际生活中都会经常遇到它，与此同时计算函数的极限是高等数学中的一个重点，在计算函数的极限过程中，幂指函数极限又是其中的难点.因此，需要更进一步的了解和掌握幂指函数的各种性质，这为解决一些实际问题带来了方便.同时，为了能将函数的学习更好的进行下去，也有必要对幂指函数作进一步的讨论.本文针对幂指函数的极限问题，给出了幂指函数较为全面明晰的定理和求幂指函数极限的一些方法，并做了相应的推广，同时将函数在某点处的极限应用至无穷远处的极限.此外，本文还讨论了不定式型的幂指函数极限的求法，同时给出了带参数的幂指函数的极限求法，并作了相应的举例说明.关键词：幂指函数；重要极限；洛必达法则；等价无穷小；带参数的极限AbstractIn the field of function, power function plays an extremely important role. In the learning process of mathematics, as well as in the actual daily life will meet it often limit at the same time, the calculation function is a key point in higher mathematics, in the limit calculation function, exponential function limit is one of the difficult point. Therefore, need to further understand and master the various properties of the exponential function, it is to solve some practical problems of convenience. At the same time, in order to be able to function better on learning, there is a need for further discussion of power exponent function. The limit problem of power exponent function, the power exponent function more comprehensive and clear theorem and some methods of power exponential function and the corresponding promotion, will also limit function at a certain point application limit to infinity. In addition, this paper also discussed the power exponent method for function limit, and gives the parameters of the power function method of solving limit, and the corresponding example.Keywords: power exponent function; important limit; hospital's rule; equivalent infinitesimal; limit with parameters 1 引 言幂指函数是高等代数的主要内容之一,它为大学生后面的学习做好了充分的铺垫.同时幂指函数的求极限运算又是每个学习者所要求掌握的内容，而且幂指函数及幂指函数的求极限的一些知识在其它的一些教科书、参考资料和最近几年的研究生入学考试中会经常出现；但是在高等数学和数学分析的教课书中涉及到的相关的幂指函数的教学内容非常少，只有幂指函数的定义、求导公式和一些推导，并且课本上相应的例题和课后习题也不多.因此，这就要求我们对于幂指函数的一些性质，有必要进一步的理解与掌握.在幂指函数求极限的计算中，通常，我们是利用幂指函数的性质来简化它的计算.但对于一些特殊结构的幂指函数，使用它的相关性质来计算，显然有些无能无力.所以本论文就幂指函数的极限进行了一些研究和举例应用，希望通过对幂指函数的求极限性质的学习与理解，以及对求幂指函数极限方法的总结归纳，让我们可以对幂指函数有更加深刻的理解和认识，在以后做题时能够快速高效的完成.同时为以后的学生的学习提供方便，也激发了他们的兴趣.2 幂指函数求极限形如的函数称为幂指函数[1].换句话说，它有类似于幂函数和指数函数的形状特点，皆可在其身上体现.作为幂函数，它的幂指数是确定的，而幂底数为自变量；同样的，若为指数函数，它的底数不变，但指数可变.幂指函数就是幂底数和幂指数同是自变量的函数.这种函数的推广，就是广义的幂指函数.关于幂指函数求极限，一般只作了简单的介绍，对高等数学教材，没有给出系统的一个总结；然而，我们在计算函数极限时总是会遇到寻求这类函数的极限.下面就介绍一些求幂指函数极限的方法.2.1 直接代值利用恒等式，可以看出幂指函数就是初等函数，则在它的定义域内是连续的，如果是定义域内的点，则有；如果不在其定义域内，或者极限过程为时，故有：定理1 若存在极限[1]证明: 因为故存在，当时，在此条件下的，，又因为，所以.例1 计算.解：因为在函数的定义域内,所以.例2 计算.解：虽然不在函数的定义域内，但故有：.对于定理1中的在做题时经常会出现，，，这样一些情形，通过证明都是成立的.进一步考虑，如果，，，我们也可考虑推广.例3 已知，计算.解：因为，所以.例4 已知，计算.解：因为,所以.例5 已知，计算.解：因为所以.在有关幂指函数极限计算时，常常会遇到形如等的不定式极限，然而，对于此类极限的计算就不能利用直接代值了，常用的方法有：2.2 重要极限在高等数学求极限的教学中，第二重要极限是一个很重要的计算极限的工具，其有两个公式：和，其中可以代表一个表达式.观察这两个重要极限的公式，你会发现，求幂指型函数极限型的待定式，即当或者时，幂指函数的底数部分趋近于1，而它的指数部分趋于.因此，我们可以利用第二重要极限的基本形式来解决大量形如型的幂指函数极限问题[2].2.2.1 第二重要极限公式的推广例如 通过观察发现的指数部分是与前面的系数乘积.由此我们可以将其推广到：或者.证明方法如上题求解类似.依据第二重要极限公式的特点，我们还可以有如下公式：或者.2.2.2 不同于第二重要极限公式的型变形推广定理2 若，在点（可以是无穷大）的某一领域（点除外）内连续，并且满足下面的条件：（1），； （2）；则有.证明: 令，则，因为，在点附近连续，且，所以，又因为，所以，故有，即.2.2.3 应用举例例6 计算 [4]. 解：因为且，所以.例7 计算 .解：因为，所以.例8 计算.解：原式可改写为因为，所以.2.3 无穷小等价替换无穷小等价替换是计算函数极限的一种有效的方法，但大多数高等数学教材中提到：无穷小的等价替换只适合于乘法运算，实际上，在一些幂指函数中也可以通过使用无穷小等价替换定理，达到简化计算的效果.下面就型，型的不定式进行全面探讨.2.3.1 知识预备引理1.1 设，，（1）如果存在，则有也存在；（2）如果，则有[3].引理1.2 设，都为某变化过程中的无穷小.如果则有.定理3 幂指函数极限（）存在的充要条件是存在，且有时，[3].2.3.2 等价无穷小替换定理（型） 当为型时，为时，如果，，且，由引理1.2可知，再由引理1.1可以得到，.故有.于是可将引理1.1推广到幂指函数中有：引理2.1 设，和，都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.引理2.1表明了当时，中，都可等价无穷小替换为，.因为无穷小与自身是等价的，所以就有了如下的推论：推论2.1 设，和都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.推论2.2 设和,都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.上述的推论2.1和推论2.2表明：或时，我们可以对中的部分用等价无穷小替换.（型） 幂指函数极限的型可以表示为，其中为某变化过程中的无穷小.由于，其中为型，再由引理2.1可以得到相应的平行引理2.2.引理2.2 设，和,都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.（幂指型必定式）设,,都为某变化过程中的无穷小，用，分别表示幂指型函数型、型极限.则由上述的引理2.1和引理2.2得到：定理2.2【等价无穷小替换定理】 设，，如果上述幂指型不定式型、型中的、全部或者部分替换为等价无穷小、后极限存在，则原来的极限也存在，且它们的极限值相等.2.3.3 举例应用例9 求 型.解：当时，，所以；又因为,所以 .例10 求（型）.解：当时，,所以 .2.4 洛必达法则在高等数学求极限的教学中，应用重要极限，主要解决了学生不容易掌握的幂指函数型的求极限问题，一般是要把幂指函数变成（为实数）.然后利用幂函数的连续性可得.但。