2022年完整word版,排列组合知识点汇总及典型例题.pdf

1一基本原理1加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加2乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解二排列：从n个不同元素中，任取m （m n）个元素，按照一定的顺序排成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1. 公式： 1.!121mnnmnnnnAmn2.规定： 0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn(2) !(1)1!(1)!(1)!nnnnnnnnn；(3)1 11111(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnnnnn三组合：从n 个不同元素中任取m （m n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 1. 公式：CAAn nnmmnm nmnmnmmm11!10nC规定：组合数性质：. 2nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011，；11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCCLLL注：若12mm1212m =mm +mnnnCC则或四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题）有序还是无序分步还是分类。

2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论注意：分类不重复不遗漏即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集3）分步处理： 与分类处理类似， 某些问题总体不好解决时，常常分成若干步， 再由分步计数原理解决在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步其原则是先分类，后分步4）两种途径：元素分析法；位置分析法3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法. 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入5）、顺序一定，除法处理先排后除或先定后插解法一： 对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

即先全排，再除以定序元素的全排列解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1 种排法；若不要求，则有2 种排法；（6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特征：末位数是奇数能被3 整除的数的特征：各位数字之和是3 的倍数；能被 9 整除的数的特征： 各位数字之和是9 的倍数能被4 整除的数的特征： 末两位是 4 的倍数 能被 5 整除的数的特征： 末位数是 0 或 5能被 25 整除的数的特征：末两位数是25，50，75能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是3 的倍数的偶数4组合应用题：（1）. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）“含”与“不含”用间接排除法或分类法: 3分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。

即除法处理非均匀分组：分步取，得组合数相乘即组合处理混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘4分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘5隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例 1. 电视台连续播放6 个广告， 其中含 4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间 4 个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22 A4448. 从而应填 48精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即655465547202 12024504AAAA解二：（ 1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. (1) 甲排在最右端时 , 有55A种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有14A种排法，乙有14A种排法，其他人有44A种排法，共有14A14A44A种排法，分类相加得共有55A+14A14A44A=504 种排法例. 有 4 个男生， 3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在7 个位置上任取4 个位置排男生，有A47种排法 . 剩余的 3 个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1 种排法，故共有A471=840种. 1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种, 选.C解析 2： 至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台, 选C. 2从 5 名男生和 4 名女生中选出4 人去参加辩论比赛（1）如果 4 人中男生和女生各选2 人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内，有种选法；（4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有种选法分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题. 由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题. 解：（ 1）先从男生中选2 人，有25C种选法，再从女生中选2 人，有24C种选法，所以共有2254C C=60（种）；（ 2）除去甲、乙之外，其余2 人可以从剩下的7 人中任意选择，所以共有2227C C=21（种）；（3）在 9 人选 4 人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：4497CC=91（种）；直接法，则可分为3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332171727777C CC CC CCCC=91（种） . （4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444954CCC=120（种） . 直接法：分别按照含男生1、2、3 人分类，得到符合条件的选法为132231545454C CC CC C=120（种） . 16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为( ) A40 B50 C60 D70 解析 先分组再排列， 一组 2 人一组 4 人有 C2615 种不同的分法；两组各3 人共有C36A2210 种不同的分法， 所以乘车方法数为25250，故选B. 2有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A36 种B48 种 C72 种D96 种 解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A2472 种排法，故选C. 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A6 个B9 个 C18个D36 个 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C133(种) 选法，即 1231,1232,1233 ，而每种选择有A22C236(种)排法，所以共有3618( 种) 情况，即这样的四位数有18 个4男女学生共有8 人，从男生中选取2 人，从女生中选取1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( ) A2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C3 人 D4 人 解析 设男生有n人，则女生有 (8 n) 人，由题意可得C2nC18n30，解得n5 或n6，代入验证，可知女生为2 人或 3 人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8 步走完，则方法有( ) A45 种B36 种 C28种D25 种 解析 因为 108 的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有2 步，那么共有C2828 种走法6某公司招聘来8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ) A24 种B36 种 C 38 种D108 种 解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将3 名电脑编程人员分成两组，一组1 人另一组 2 人，共有 C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3 人分成两组，一组1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C1336( 种) 7已知集合A5 ，B1,2 ，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A33 B34 C35 D36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C12A3312 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C12A33A3318 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C133 个故共有符合条件的点的个数为1218333 个，故选 A. 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) A72 B96 C108 D144 解析 分两类：若1 与 3 相邻，有 A22C13A22A2372( 个)，若 1 与 3 不相邻有 A33A3336(个) 故共有 7236108 个9 如果在一周内 ( 周一至周日 ) 安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3那么不同的安排方法有( ) A50 种B60 种 C120 种D210 种 解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种：(1,2) 、(2,3) 、(3,4) 、(4,5) 、(5,6) 、(6,7) ，甲任选一种为C16，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25120 种，故选C. 10安排 7 位工作人员在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天， 其中甲、 乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日。