2011年全国高考理科数学试题及答案-全国.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题1．复数，为的共轭复数，则 A． B． C． D．2．函数的反函数为 A． B． C． D．3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A． B． C． D．4．设为等差数列的前项和，若，公差，，则 A．8 B．7 C．6 D．55．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 A． B． C． D． 6．已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 A． B． C． D．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A．4种 B．10种 C．18种 D．20种8．曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 A． B． C． D．19．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则= A．- B． C． D．10．已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则= A． B． C． D． 11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 A．7 B．9 C．11 D．1312．设向量a，b，c满足= =1，=，=，则的最大值等于 A．2 B． C． D．1第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无效）13．（1-）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．y214．已知a∈（，），sinα=，则tan2α= 15．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．16．己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X的期望 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求与平面所成角的大小．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为．证明：参考答案评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4．只给整数分数，选择题不给中间分一、选择题1—6 BBADCC 7—12 BAADDA二、填空题13．0 14． 15．6 16．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：由及正弦定理可得 …………3分 又由于故 …………7分 因为， 所以 18．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I） …………3分 …………6分 （II），即X服从二项分布， …………10分所以期望 …………12分19．解法一： （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角 …………3分 由， 得平面SDE，所以。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直 所以平面SAB …………6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED 作垂足为F，则SF平面ABCD， 作，垂足为G，则FG=DC=1 连结SG，则， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG …………9分 作，H为垂足，则平面SBC ，即F到平面SBC的距离为 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为α， 则 …………12分 解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）又设 （I），，由得故x=1由又由即 …………3分于是，故所以平面SAB …………6分 （II）设平面SBC的法向量，则又故 …………9分取p=2得故AB与平面SBC所成的角为20．解： （I）由题设 即是公差为1的等差数列 又 所以 （II）由（I）得 ， …………8分 …………12分21．解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得 …………2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。

…………6分 （II）由和题设知， PQ的垂直平分线的方程为 ①设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 ②由①、②得的交点为 …………9分故|NP|=|NA|又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分22．解： （I）， …………2分 当，所以为增函数，又，因此当 …………5分 （II）又，所以 …………9分由（I）知：当因此在上式中，令所以。