高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案).pdf

高中数学竞赛（预赛）训练试题+数学竞赛初赛试题（含答案）高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）一 填 空 题（本题满分56分，每小题7分1.已知复数机满足根+L=1,则/2 0 0 8+/=m机 20 0 92,设/（x）=c os?工 +s in x c os x+2,x e,则/（x）的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2 6 4C C C3.设等差数列/的前项和为S.，若%0,S|6 0,则3，,2臣 中 最 大 的 是.为ai 54.已 知是锐角ABC 的外心，A B =6,A C=1 0,若Z5=xQ+yn,且 2x+10 y =5,则c o s Z B A C=.5.已知正方体A B C D -A B|GR的棱长为1，为底面A B C D 的中心，M,N 分别是棱4 D 1 和 C C 1的中点.则四面体M N B 的体积为6.设 A U8 UC=1,2,3,4,5,6,且 4 nB =1,2,1,2,3,4 =8 UC，则符合条件的(A,8,C)共有 组.（注：A,B,C 顺序不同视为不同组.）7 .设丁=s in x +c os x+tan x +c otx +s e c x +c s c x,则|y|的最小值为8.设 p是给定的正偶数，集合A。

x|20 X 0）满足 a1=2 ,am+n+吁“一机+=-（a2m+%,），其中 n e N,m .（1）证明：对一切eN,有a,.=2a“+-a“+2；（2）证明：一 +!0,S16 0,则3，也，上中最大的是 也.q a2 at5 a84.已 知是锐角ABC的外心，A B =6,A C=W,若 布 =x+y而且2x+10 y =5,则co s Z B AC-.35.已知正方体ABCA心G 4的棱长为1，为底面A8C D的中心，M,N分别是棱4 5和C G.7的中点.则四面体MN B 的 体 积 为.6.设A U5 UC=1,2,3,4,5,6,且4 nB =1,2,1,2,3,4 u B UC，则符合条件的（A,B,C）共有 160 0 组.（注：A,B,C顺序不同视为不同组.）7.设y =s in x +c os x+tan x +c otx +s e c x +c s c x,则|y|的最小值为 2 0-1 .8.设p是 给 定 的 正 偶 数，集合=x|20 X2PM,X=3，加eN 的所有元素的和是22/,|-2P .二、解 答 题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

9.设数列”（心满足q =2,限+限-加+=；（“+如），其中（1）证明：对一切eN,有a“+2=22；（2）证明：+1),所以%n(n+1)n n+1-)=12010-2010-14分1 0.求 不 定 方 程 再+/+%3+3匕+3/+5%6=21的正整数解的组数.解 令 再+无2 +无3 =%，匕+/=y，/=z,则x 2 3,y 2 2,z 2 1.先考虑不定方程x+3y+5z=21满足?3,丁2 2,2 2 1的正整数解.,/x 3,y 2,z 1,5z=21 x 3y 12,:.1 z =；/与直线/：y=Zx1没有公共点，设点P为直线/上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A,8为切点.(1)证明：直线AB恒过定点Q；PM QM若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点，证明：1-=|PN|QN|1 2证 明 设A(X 1,y),则由 y=；/得 y=x,所以=于是抛物线C在A点处的切线方程为y-y =$一再)，即y=设 P(x0,kxn-1),则有依)-1 =xox-必.设 B(x2,y2)，同理有依,一1 =x0 x2-y2.所以AB的方程为左毛-1 =xox-y,即/(x-&)-(y-1)=0,所以直线A B恒过定点Q(Z,1).-7分(2)PQ的方程为丁=二2(X Q +l,与抛物线方程 =工，联立，消去y,得XQ-K 22 2攵%-4 +(2&-2)%2k 0人0一人xQ-k设加(无3，%)，N(&,”)，则七+匕2k%4(2k?_ 加_2kx0-k要P证M JQM,只需证明 xa=k x-,IP M|QN|X4-X0 x4-k即2X3X4 一(Z+X。

)(x3+g)+2女%=0由知，4%2(2攵 之2)x()-4 Z 2 2外)4式左边二-U-(2 +/)2+2k%xQ-k xk2(2%2)XQ 4k (k+)(2 攵4)4)+2 Z r x)k)=-=0 .x0-k故式成立，从而结论成立.-1 5分1 2.设,上c,d为正实数，且Q+b +c +d =4 .证明:a2 b2 c2-1-F bed+4 +(6 Z-/?)2.a证明 因为a+Z?+c +d =4,要证原不等式成立，等价于证明a2 b，c2 d2、.,4(a-b)2+a+h+c+d+-b c d a a+b+c+d事实上，a2 b c2 d2+-(a+b+c+d)b c d a-5分a2 b2 c2 d2=(-h-2a)+(-FC-2h)+(-卜d-2c)+(-a-2d)b c d a=-(a-b)2+-(b-c)2+-(c-J)2+-(t/-a)2-1 0 分b c d a由柯西不等式知r(a (b c)2(c-d)2(d a)2”,八-+-+-+-(4 +匕 +C +d)b c d a(a-bJt-b-c+c-dJt-d-a)2-1 5 分又由|Z?c|+|c-d|+|d a 以人一a|知(a-b+b-c-c-d+d-a)2 4(a-b)2 由，可知式成立，从而原不等式成 立.-2 0分高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合AB同时满足AU 6=L2.3.4 4口6 =1 ,AH1,8H 1 就称有序集对（A,B）为“好集对”。

这里的有序集对（A8）意指当（A,6）和（6,A）是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个A 6488c 6 0 22.设函数0=电（1 0一+1）,方程外一2、）=广（2、）的解为（）A l og2（l g 2）-1 f i.l g（l og21 0）-1 C.l g（l g 2）+1 D.l og2（l og21 0）+l 3.设A =1 0 0 1 0 1 1 0 2-4 9 9 50 0是一个1 2 0 3位的正整数，由从1 0 0到50 0的全体三位数按顺序排列而成那么A除以1 2 6的余数是（）A 7 8 B 3 6 C 6 D 04.在直角AA6c中，N C =9 0,C D为斜边上的高,D为 垂 足.4）=C D =a b =l .设数列 以 的通项为 4=Y ak-b+_.+,攵=1,2,3,.则（）A“2008=2007+“2006 B.“2008=W2007 “2006C.2 0 0 7%0 G8=2008U2（107 D.2008M2（X）8=2007M20075.在正整数构成的数列1.3 57 删去所有和55互质的项之后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列 q ,易见 q =1,。

2=3,%=7,4=9,5=1 3 那么“2007=A 9 59 7 B.551 9 C.2 8 3 1 D.2 7 59“A =J l +c os3 +/l+c os70+/l+c osl 1 +-Vl+c os8 7 ,._6,设 则 A:3=2-&2+显-r i-C.7 2-1 D.V2+1二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为6 0 的钝角三角形一共有 种.8.设n 2 0 0 7，且n为使得a“=卜 花 壶取实数值的最小正整数，则对应此n的an为9.若 正 整 数 恰 好 有 4 个 正 约 数，则 称 为 奇 异 数，例 如 6,8,1 0都 是 奇 异 数.那 么 在2 7,4 2,6 9,1 1 1,1 2 5,1 3 7,3 4 3,899,3 5 99,7 999 这 1 0 个数中奇异数有 个.10 .平行六面体ABCD-A4G 中，顶点A出 发 的 三 条 棱 的 长 度 分 别 为 2,3,4,且两两夹角都 为 60 那 么 这 个 平 行 六 面 体 的 四 条 对 角 线AC,BD,D B C A的 长 度(按 顺 序)分 别 为11.函数 x),g(x)的迭代的函数定义为/(x)=/(x)J(2)(x)=/(/(x),f(n)(x)=/(产“(x)，g (%)=g (x)，g (%)=g (g (H),g(x)=g(g(T 其中 =2,3,4.)=g(6)(y)设 x)=2 x 3*(力=3 X+2,则方程组./(y)=g(6)(z)的解为/卜 口 12 .设平行四边形AB C D中，AB =4,A D =2,B D =2瓜则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三解答题13 .已知椭圆r：3 x2+4/=1 2 和点Q(q,0),直线/过。

且 与 交 于 A,8 两点(可以重合).1)若 N AQB为钝角或平角(O为原点)，4=4,试确定/的斜率的取值范围.2)设 A关于长轴的对称点为A，E 为椭圆的右焦点,q =4,试判断A和8 三点是否共线，并说明理由.3)问题2)中，若 q w4,那么4,R B三点能否共线?请说明理由.14.数列 x“由下式确定：xn+l)=1,2,3,%=1,试求I g x2 G o7 整数部分左=怆*2 007(注 +1表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.)1 5.设给定的锐角“SC的三边长a,O,G 正 实 数 r,y,z 满 足 生+处+竺=其中p为给定的正实x y z数，试求s =(+)工 2 +(c+-b)y 2 +(rz+Z?-c)z2的最大值，并求出当s 取此最大值时，x,y.z的取值.2008年安徽省高中数学联赛初赛试题一、选择题1 .若函数y =/(x)的图象绕原点顺时针旋转/后，与函数y =g(x)的图象重合，则()(A)g(x)=/T(-x)(B)g(x)=/T(x)(C)g(x)=-/T(-x)(D)g(x)=-/T(x)2 .平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为()(A)椭圆(B)双曲线的一部分(C)抛物线的一部分(D)矩形3 .下列4个数中与8S 1 +co s 2 +C O S 2 008最接近的是()(A)-2 008(B)-1 (C)1 (D)2 0084 .四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角。

A)3 (B)4 (C)5 (D)65 .写成十进制循环小数的形式-=0.0004 98 6 2 5 4 98 6 2 5，其循环节的长度为()2(X)8 2(X)8(A)3 0(B)4 0(C)5 0(D)6 06 .设多项式(1+力2豌=%+空+4008 ax i 则4,4,M200s中 共 有()个是偶数A)12 7 (B)1003 (C)1005 (D)18 8 1二、填空题7 .化简多项式 C：G x(1-=k=m3 -I-S n Y8 .函数/(X)=/的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V5 +4 c o s j c +3 s i n x9.若数列 an满足 q 0,4 =a+a-1一的“一|,(2 2),且具有最小正周期2 008,则4 =10.设非负数4,2008的和等于1，则+2 a 3+20072008+20081的最大值为.11.设点A(l,l),B、C 在椭圆V+3y2=4上，当直线B C 的方程为.时，AABC的面积最大12 .平面点集G=亿）|i =1,2,=1,2,易知G2可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），G?可被2 个三角形覆盖，则覆盖G 2（0 t需要 个三角形。

三、解答题13 .将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2 个小球，记7/为盒中小于颜色相同的。