新高考数学一轮复习第8章 第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）（教师版）.doc

第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系题型二：中点弦问题角度1：由中点弦确定直线方程 角度2：由中点弦确定曲线方程题型三：弦长问题题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．知识点二：直线与双曲线的位置关系代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点；知识点三：直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：； 第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（       ）A． B．2 C． D．【答案】D双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，故选：D2．（2022·上海市第三女子中学高二期末）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为，联立，得①.当，即时，①式只有一个解；当时，则，解得；综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.3．（2022·湖南·高二阶段练习）已知为双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为__________.【答案】##不妨设点在第一象限，由双曲线，可得，因为，所以，又因为，所以，故的面积为.故答案为：4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____【答案】4由题意得，由抛物线的定义知：，故答案为：4.5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长．【答案】联立方程： 得 ， ，因为斜率k=3，= ，故答案为：.第三部分：典 型 例 题 剖 析题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（  ）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C由题意，椭圆，可得，则椭圆的右顶点为，上顶点为，又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选：C.例题2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））过点作直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（   ）条A． B． C． D．【答案】C当直线斜率不存在时，，与抛物线无交点，不合同意；当直线斜率为零时，，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；当直线斜率不为零时，，即，由得：，则，解得：，满足题意的直线有两条；综上所述：过点与抛物线只有一个交点的直线有条.故选：C.例题3．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数的取值范围是___________.【答案】如图，曲线，即为，表示以为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲线的渐近线为与因为过定点，要使直线与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则故答案为：例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．【答案】或1．①当直线与x轴平行时，方程为，此时，与抛物线只有一个公共点，坐标为，满足题意；②当时，方程与抛物线方程联立，消去y得，，解得，此时直线方程为.综上所述，或1．同类题型归类练1．（2022·江苏·高二）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（       ）A．0或1 B．2 C．1 D．0【答案】B由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．故选：B2．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（       ）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】B由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.故选：B.3．（2022·全国·高二专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.4．（2022·海南华侨中学高二期末）过点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数是___________.【答案】4显然直线斜率存在，设过点的直线方程为，联立方程，可得，若，即时，方程有1个解，即直线与双曲线只有一个公共点，满足题意；若，则由可解得，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，满足题意，综上，满足题意的直线有4条.故答案为：4.5．（2022·全国·高三专题练习）若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________.【答案】或由题意可得，代入双曲线方程得.当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当时，，解得.综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点.故答案为：或题型二：中点弦问题角度1：由中点弦确定直线方程 典型例题例题1．（2022·河南开封·高二期末（文））如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（  ）A． B．C． D．【答案】B设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则 因为，两式相减可得，，即由中点公式可得，所以，即，所以AB所在直线方程为，即．故选：B．例题2．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（  ）A． B． C． D．【答案】D设，所以，两式相减得，，因为点为的中点，所以，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，所以，，故斜率为符合题意，因此直线的方程为，故选：D.例题3．（2022·福建·莆田一中高二期末）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 ．(1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程．【答案】(1)(2)(1)∵，，∴，，∵，∴，∴，∴双曲线的标准方程为；(2)设以定点为中点的弦的端点坐标为，可得，，由在双曲线上，可得：，两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，联立方程得：，，符合，∴直线的方程为：.例题4．（2022·广东·信宜市第二中学高二开学考试）已知抛物线上的点(点位于第四象限)到焦点的距离为.（1）求的值；（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1），；（2）.（1）由抛物线的定义可知：，解得：，，，解得，点在第四象限，；（2）设，则，两式作差得，直线的斜率，为的中点，，，直线的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在抛物线中，以为中点的弦所在直线的方程是（       ）A． B．C． D．【答案】C设以为中点的弦的两端点的坐标分别为，，由题意可得，，两式作差可得，，所以因此所求直线的方程为，整理得.故选：C.2．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______.【答案】椭圆方程可化为，设是椭圆上的点，是弦的中点，则，两式相减并化简得，即，所以弦所在直线方程为，即.故答案为：3．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（文））椭圆的一个焦点，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】(1)；(2).(1)根据题意可得，故可得，则，故椭圆方程为：.(2)显然，直线的斜率存在，设两点的坐标为，故可得，故，故，由题可知，故可得，故直线的方程为，即.4．（2022·全国·高二课时练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，求直线l的方程．【答案】.由题意可知l斜率必存在，设l斜率为，则直线的方程为，代入椭圆的方程化简得，设，∵，∴，解得，故直线l的方程为：.另解：由题知在椭圆内，设直线与椭圆相交于点，易知直线斜率存在，设斜率为，∵在椭圆上，，①－②得，即，即，解得.∴直线的方程为，整理得.5．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆C：，直线m与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1，1)，求直线m的方程．【答案】.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点A，B在椭圆上，得，所以＋＝0.而kAB＝＝－＝－＝－，则直线m：y－1＝－ (x－1)，即6．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) (2) （1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．角度2：由中点弦确定曲线方程典型例题例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】A依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有。