人教A版2019必修一高二数学上学期同步课堂 第一章 空间向量与立体几何单元检测（知识达标）.docx

第一章 空间向量与立体几何（知识达标卷）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,且,则的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 2.设直线的方向向量是,平面的法向量是,则”"是“"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图,在四面体中,点在棱上,且满足,点分别是线段的中点,则用向量表示向量应为 A. B. C. D.4.如图,在长方体中,设,则等于 A. B. C. D.5.已知,若三个向量不能构成空间的一个基底,则实数的值为 A. B. C. D.6.二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,则该二面角的大小为 A. B. C. D.7.在《九章算术》中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面,，且,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8.在正四棱柱中,,,动点分别段上,则线段长度的最小值是 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,共小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知空间中三点,则下列结论正确的有 A.与是共线向量 B.与共线的单位向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是10.设动点在正方体的体对角线上,记,当为钝角时,实数的可能取值是 A. B. C. D.11.将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是A. B.异面直线与所成角的大小为 C.为等边三角形 D.直线与平面所成角的大小为12.如图,已知在长方体中,,,点为上的一个动点,平面与棱交于点,则下列说法正确的是A.四棱锥的体积为20 B.存在唯一的点,使截面四边形的周长取得宝小值C.当点为的中点时,在直线上存在点,使得D.存在唯一一点,使得平面,且 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点,则在上的投影向量的长度为 .14.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,则在空间直角坐标系中,关于轴的对称点的坐标为 ,若点关于平面的对称点为点,则 （本题第一空2分,第二空3分)15.如图,在长方体中,,,若为中点,则点到平面的距离为 .16.在四棱锥中,底面,底面是正方形,且为的重心,则与底面所成角的正弦值为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱中,,分别是上的点,且.设,.(1)试用表示向量;(2)若,求的长. 18.已知向量.(1)若,求的值;(2)以坐标原点为起点作,求点到直线的距离. 19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,且平面是的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.①二面角的大小是;②.若 ,求直线与平面所成角的正弦值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分. 20.如图,在长方体中,点分别在棱上,且.(1)证明:点在平面内;(2)若,求二面角的正弦值. 21.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点.(1)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足,记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为二面角的大小为,求证:.22.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)证明:段上存在点,使得,并求的值 参考答案1.C【解析】∵,解得,故选C.2.B【解析】由,得,则:“”是“”的必要条件;由,得或,则“”不是""的充分条件.故“”是“”的必要不充分条件.故选B.3.【解析】连接,因为分别为的中点,所以,化简得到,故选.4.A【解析】方法一 由长方体的性质可知,,,又,,所以.故选.方法二 以为坐标原点,分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,则,则.故选.5.D【解析】∵与不平行,∵三个向量不能构成空间的一个基底,∴三个向量共面,即存在实数X,Y,使,即解得,故选D.6.【解析】由題意知,解得,则,所以面角的大小为,故选C.7.C【解析】将四面体放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.8.C【解析】以D为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,则可设,,,∴，当且仅当时，取得最小值，故选.9.CD【解析】对于,不存在实数,使得,所以与不是共线向量,所以错误;对于,因为,所以与共线的单位向量为或,所以错误;对于,向量,所以,所以正确;对于,设平面的法向量是,因为,所以,即,令,则,所以D正确,故选.10.AB【解析】以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则,,,所以.因为为钝角,所以,即,解得.故选.11.ABC【解析】如图,取BD中点为0,连接AO,CO,易知BD⊥平面AOC,故,故正确;以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为,则,故,所以,故异面直线与所成角的大小为,故正确;在直角三角形中,由,得,故为等边三角形,故正确;易知即为直线与平面所成的角,易得,故错误.故选.12.【解析】长方体中,,对于，,易知平面,所以到平面的距离等于到平面的距离,为,同理到平面的距离等于到平面的距离,为,所以,故正确;对于,易知平面平面,平面平面,平面平面,所以,同理,即四边形为平行四边形,将长方体侧面和沿棱展开到同一平面内,则的最小值为展开面中的长度,此时点为与的交点,,所以四边形的周长的最小值为,故正确;对于,当为的中点时,易知为的中点,在平面中,延长,交的延长线于,连接CG,易知,得,所以为的中点,所以在中,,故C正确;对于,以点为坐标原点,分别以射线为,轴的正半轴建立空间直角坐标系,设点,,,则,,所以,即,要使平面,则需,即,所以,得,即,故错误.故选.13.【解析】由已知,所以在上的投影向量的长蝃为.14. 【解析】由题意得关于轴的对称点的坐标为；点关于平面的对称点为,所以.15.【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，由题意得,，，,.设平面的法向角为,则,即,令,得点到平面的距离.16. 【解析】如图,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,由已知,得,,,则重心,因而,,设与底面所成的角为,则.17.【解析】(1)由题意可知. (2)因为所以, 所以. 18.【解析】(1), ∵∴, 解得. (2)由条件知,∴ ∴点到直线的距离. 19.【解析】选①.因为平面,所以,所以就是二面角的平面角,所以. 过作轴⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则,所以取平面的一个法向量 设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成角的正弦值是. 选② 因为平面,底面是平行四边形,所以,DC,DM两两垂直 以D为坐标原点,DC,DM所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以 取平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值是. 20.【解析】设,如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.连接,则,得, 因此,即四点共面,所以点在平面内. (2)由已知得，设为平面的法向量,则,即,可取. 设为平面的法向量,则,同理可取 因为,所以二面角的正弦值为. 21.【解析】(1)直线平面. 证明如下:因为分别是的中点,所以,又平面平面ABC所以平面ABC 平面,平面平面 ,所以, (2)如图,过B作AC的平行线,交圆于点D,由(1)可知交线即为直线，由题意过D作DQ//CP,且,连接,易知CD过点以C点为原点,分别以向量,方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系.设,则有,,所以所以 因为平面ABC的一个法向量为，所以 设平面的法向量为,则,可得,令,则,所以,所以 故,即. 22.【解析】(1)因为四边形为正方形,所以.因为平面平面,且垂直于这两个平面的交线,所以平面. (2)由(1)知.由题意知,则,所以.如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.所. 令,则,设平面的法向量为,则,即.所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即令,得,故平面的一个法向量为. 。