2012年高考第一轮复习数学：12.1离散型随机变量的分布列.doc

※第十二章 概率与统计●网络体系总览随机变量抽样方法线性回归离散型随机变量分布列期望方差总体的分布估计正态分布假设检验生产过程中的质量控制图●考点目标定位 1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. 2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差. 3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. 4.会用样本频率分布估计总体分布. 5.了解正态分布的意义及主要性质. 6.了解线性回归的方法和简单应用. 7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力. ●复习方略指南 在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充 分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的 实际应用. 1.把握基本题型 应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散 型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概 率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本 章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视. 2.强化双基训练 主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力. 3.强化方法选择 特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的， 还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、 网络化的有机体系. 4.培养应用意识 要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进 行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以 培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列●知识梳理 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希 腊字母ξ、η等表示. （1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那 么这样的随机变量叫做离散型随机变量. （2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中 a、b 是常数，则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 （1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率 P（ξ=xi）=pi，则称表ξx1x2…xi…Pp1p2…pi… 为随机变量 ξ 的概率分布，简称ξ的分布列. （2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P（ξ=k）=C pkqn－k.k n其中 k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPCp0qn0 nCp1qn－11 n…Cpkqn－kk n…Cpnq0n n我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p） ，其中 n、p 为参数，并记 C pkqn－k=b（k；n，p）.k n特别提示二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.●点击双基 1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4 表示的随机试验结果是 A.一颗是 3 点，一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.两颗都是 4 点 D.一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点 解析：对 A、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值 4，而 D 是 ξ=4 代表的 所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量 概念的关键. 答案：D 2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是 A.ξ－101P0.30.40.4B.ξ123P0.40.7－0.1C.ξ－101P0.30.40.3D.ξ123P0.30.40.4解析：A、D 不满足分布列的基本性质②，B 不满足分布列的基本性质①. 答案：C3.已知随机变量ξ的分布列为 P（ξ=k）=，k=1，2，…，则 P（2<ξ≤4）等于k21A.B.C.D.163 41 161 51解析：P（2<ξ≤4）=P（ξ=3）+P（ξ=4）=+=.321421 163答案：A 4.某批数量较大的商品的次品率为 10%，从中任意地连续取出 5 件，其中次品数ξ的 分布列为________. 解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取 5 件（不放回）可以看作是独立重复试 验 n=5，因而次品数ξ服从二项分布， 即ξ～B（5，0.1）. ξ的分布列如下：ξ012345P0.950.5×0.940.1×0.930.01×0.924.5×0.140.155.设随机变量ξ～B（2，p） ，η～B（4，p） ，若 P（ξ≥1）=，则 P（η≥1）95=______.解析：P（ξ≥1）=1－P（ξ<1）=1－C p0·（1－p）2=，0 295∴p=，P（η≥1）=1－P（η=0）=1－C （）0（）4=1－=.310 431 32 8116 8165答案： 8165●典例剖析 【例 1】 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 剖析：随机变量ξ可以取 0，1，2，η也可以取 0，1，2，3，放回抽样和不放回抽 样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.解：（1）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，3 103 8 CC 1573 102 81 2 CCC 157P（ξ=2）==，3 102 21 8 CCC 151所以ξ的分布列为ξ012P157 157 151（2）P（η=k）=C ·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3） ，所以η的分布列为k 8η0123PC 0.830 8C 0.82·0.21 8C0.8·0.222 8C 0.233 8评述：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B（3，0.8）. 特别提示求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求 出取每一个值时的概率.【例 2】 一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取 3 只，以ξ表示 取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列. 剖析：因为在编号为 1，2，3，4，5 的球中，同时取 3 只，所以小号码可能是 1 或 2 或 3，即ξ可以取 1，2，3. 解：随机变量ξ的可能取值为 1，2，3. 当ξ=1 时，即取出的三只球中最小号码为 1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5 的四只球中任取两只，故有 P（ξ=1）===；3 52 4 CC 106 53当ξ=2 时，即取出的三只球中最小号码为 2，则其他两只球只能在编号为 3，4，5 的三只球中任取两只，故有 P（ξ=2）==；3 52 3 CC 103当ξ=3 时，即取出的三只球中最小号码为 3，则其他两只球只能在编号为 4，5 的两只球中任取两只，故有 P（ξ=3）==.3 52 2 CC 101因此，ξ的分布列如下表所示：ξ123P53 103 101评述：求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概 率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等.本题中基本事件总数，即 n=C ，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）.3 5【例 3】 （2004 年春季安徽）已知盒中有 10 个灯泡，其中 8 个正品，2 个次品.需要 从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止.设ξ为取出 的次数，求ξ的分布列及 Eξ.剖析：每次取 1 件产品，∴至少需 2 次，即ξ最小为 2，有 2 件次品，当前 2 次取得 的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取 2，3，4.解：P（ξ=2）=×=；108 97 4528P（ξ=3）=××+××=；108 92 87 102 98 87 4514P（ξ=4）=1－－=.4528 4514 151∴ξ的分布列如下：ξ234P4528 4514 151Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=.922评述：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决 实际问题的能力. 思考讨论1.ξ=4 时有哪些情况? 2.本题若改为取出后放回，如何求解?●闯关训练 夯实基础夯实基础 1.袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回抽取 的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数 是 A.5 B.9 C.10 D.25 解析：号码之和可能为 2，3，4，5，6，7，8，9，10，共 9 种. 答案：B 2.一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回， 直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了ξ次球，则 P（ξ=12）等于A.C（）10·（）2B.C（）9（）2·10 1283 859 1183 85 83C.C（）9·（）2D.C（）9·（）29 1185 839 1183 85解析：P（ξ=12）表示第 12 次为红球，前 11 次中有 9 次为红球，从而P（ξ=12）=C·（）9（）2×.9 1183 85 83答案：B 3.现有一大批种子，其中优质良种占 30%，从中任取 5 粒，记ξ为 5 粒中的优质良种 粒数，则ξ的分布列是________.解析：ξ～B（5，0.3） ，ξ的分布列是 P（ξ=k）=C 0.3k0.75－k，k=0，1，…，5.k 5答案：P（ξ=k）=C 0.3k0.75－k，k=0，1，…，5k 54.袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤6）=________. 解析：取出的 4 只球中红球个数可能为 4，3，2，1 个，黑球相应个数为 0，1，2，3个.其分值为ξ=4，6，8，10 分.P（ξ≤6）=P（ξ=4）+P（ξ=6）=+=.4 70 34 4 CCC4 71 33 4 CCC 3513答案：35135.（2004 年天津，理 18）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.设随机变量 ξ表示所选 3 人中女生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望； （3）求“所选 3 人中女生人数ξ≤1”的概率. 解：（1）ξ的可能取值为 0，1，2.P（ξ=k）=，k=0，1，2.3 63 42 CCCkk∴ξ的分布列为ξ012P51 53 51（2）由（1） ，可知Eξ=0×+1×+2×=1.51 53 51（3） “所选 3 人中女生人数ξ≤1”的概率为P（ξ≤1）=P（ξ=0）+P（ξ=1）=.54培养能力培养能力 6.（2003 年高考·新课程）A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队 队员是 A1、A2、A3，B 队队员是 B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负 概率如下：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A1对 B132 31A2对 B252 53A3对 B352 53现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分.设 A 队、B 队最后所得总分分 别为ξ、η. （1）求ξ、η的概率分布； （2）求 Eξ、Eη. 分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实 际问题的能力. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为 3，2，1，0.P（ξ=3）=××=，32 52 52 758P（ξ=2）=××+××+××=，32 52 53 31 52 52 32 53 52。