2022年初中数学“最值问题”_集锦 2.pdf

1 “最值问题”集锦平面几何中的最值问题 01 几何的定值与最值 07 最短路线问题 14 对称问题 18 巧作“对称点”妙解最值题 22 数学最值题的常用解法26 求最值问题29 有理数的一题多解34 4 道经典题37 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题最值问题的解决方法通常有两种：（1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式例 1、A、B两点在直线 l 的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB 最小分析：在直线 L 上任取一点 P，连结 A P，BP ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - - 2 在ABP 中 AP +BP AB ，如果 AP +BP AB,则 P必段 AB上，而线段 AB与直线 L 无交点，所以这种思路错误。

取点 A关于直线 L 的对称点 A，则 AP AP，在ABP中 AP+BPAB,当 P移到 AB 与直线 L 的交点处 P点时AP+BPAB，所以这时PA+PB 最小1 已知 AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC 的周长最大 ( 图 391)？分析 本例是求半圆 AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于 AB CD ，必有 AC=BD 若设 CD=2y ，AC=x ，那么只须求梯形ABDC 的半周长 u=x+y+R的最大值即可解 作 DE AB于 E，则x2=BD2=AB BE 2R (R-y) 2R2-2Ry，所以所以求 u 的最大值，只须求 -x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有当 x=R时取等号，这时有所以2y=R=x 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C ，D ，这时，梯形的底角恰为60和 1202 . 如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8 米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设 x 表示半圆半径， y 表示矩形边长 AD ，则必有2x+2y+x=8，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - - 3 若窗户的最大面积为S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知 P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时， PA+PB 最大( 图 393)？分析与解因为 P点是半圆上的动点，当P近于 A或 B时，显然 PA+PB 渐小，在极限状况(P 与 A重合时 ) 等于 AB 因此，猜想 P在半圆弧中点时， PA+PB 取最大值设 P为半圆弧中点，连PB ，PA，延长 AP到 C，使 PC=PA ，连 CB ，则 CB是切线为了证 PA+PB 最大，我们在半圆弧上另取一点P，连 PA，PB，延长 AP 到 C，使 PC=BP ，连 CB，CC ，则 PC B=PBC= PCB=45 ，所以 A，B，C，C四点共圆，所以 CC A=CBA=90 ，所以在 ACC 中， AC AC ，即 PA+PB PA+P B4 如图 394，在直角 ABC中，AD是斜边上的高， M ，N分别是 ABD ，ACD 的内心，直线 MN 交 AB ，AC于 K，L求证： SABC2SAKL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - - 4 证 连结 AM ，BM ，DM ，AN ，DN ，CN 因为在 ABC中，A=90，AD BC于 D ，所以 ABD= DAC ，ADB= ADC=90 因为 M ，N分别是 ABD和ACD 的内心，所以1=2=45， 3=4，所以ADN BDM ，又因为 MDN=90 =ADB ，所以MDN BDA ，所以BAD= MND 由于 BAD= LCD ，所以MND= LCD ，所以 D ，C ，L，N四点共圆，所以ALK= NDC=45 同理， AKL= 1=45，所以 AK=AL 因为AKM ADM ，所以AK=AD=AL 而而从而所以 SABCSAKL5. 如图 395已知在正三角形ABC内( 包括边上 ) 有两点 P，Q 求证： PQ AB 证 设过 P，Q的直线与 AB ，AC分别交于 P1，Q1，连结 P1C，显然， PQ P1Q1因为 AQ1P1+P1Q1C=180 ，所以 AQ1P1和P1Q1C中至少有一个直角或钝角若AQ1P190，则 PQ P1Q1AP1AB ；若P1Q1C90，则 PQ P1Q1P1C同理， AP1C和BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP1C90，则 P1CBC=AB 对于 P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ AB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - - 5 6. 设ABC是边长为 6 的正三角形，过顶点A引直线 l ，顶点 B，C到 l 的距离设为 d1，d2，求 d1+d2的最大值 (1992 年上海初中赛题 ) 解 如图 396，延长 BA到 B，使 AB =AB ，连 BC，则过顶点 A的直线 l 或者与BC相交，或者与 BC相交以下分两种情况讨论(1) 若 l 与 BC相交于 D，则所以只有当 l BC时，取等号 (2) 若 l 与 BC相交于 D ，则所以上式只有 l BC时，等号成立7. 如图 397已知直角 AOB 中，直角顶点 O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO ，BO分别与单位圆交于C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值解 设O与 AB相切于 E，有 OE=1 ，从而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - - 6 即AB 2当 AO=BO 时，AB有最小值 2从而所以，当 AO=OB 时，四边形 ABCD 面积的最小值为几何的定值与最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - - 7 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置， 直接计算等方法， 先探求出定值， 再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量( 如线段长度、角度大小、图形面积) 等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理 ( 公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10 ，P是线段 AB上任意一点，在AB的同侧分别以 AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD ，则 CD长度的最小值为思路点拨如图，作 CC AB于 C ，DD AB于 D，DQ CC ，CD2=DQ2+CQ2，DQ=21AB一常数，当 CQ越小， CD越小，本例也可设 AP=x，则 PB=x10，从代数角度探求CD的最小值注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等；(2) 端点处、临界位置等【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为 T，圆交 AC 、BC于 M 、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（） A从 30到 60变动 B从 60到 90变动C 保持 30不变 D保持 60不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例 3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a，BC=b(ab) ，P为 AB边上的一动点，直线 DP交 CB的延长线于 Q ，求 AP+BQ 的最小值思路点拨设 AP=x，把 AP 、BQ分别用x的代数式表示， 运用不等式abba222 ( 当且仅当ba时取等号 ) 来求最小值【例 4】 如图，已知等边 ABC 内接于圆，在劣弧AB上取异于 A、B的点 M ，设直线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - - 8 AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM 相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的选择无关思路点拨即要证 AK BN是一个定值，在图形中ABC 的边长是一个定值，说明AK BN与 AB有关，从图知 AB为ABM 与 ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】已知 XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( Z=90) ，它的三个顶点分别在等腰 RtABC( C=90 ) 的三边上，求 ABC直角边长的最大可能值思路点拨顶点 Z在斜边上或直角边CA(或 CB)上，当顶点 Z在斜边 AB上时，取 xy 的中点， 通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z在(AC 或 CB)上时， 设 CX=x， CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量， 建立几何元素间的函数、 方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2) 构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与 B点或 C点重合） ，分别过 B、C、D作射线 AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则 BB +CC +DD 的最大值为，最小值为2如图， AOB=45 ，角内有一点P，PO=10 ，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点 O)，则 PQR 的周长的最小值为3如图，两点 A、B在直线 MN外的同侧， A到 MN 的距离 AC=8。