初中数学 认识有理数（有理数及其分类）知识梳理与分类讲解.pdf

专题2.1认识有理数（有理数及其分类）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】认识正数、负数（1）正 数：像+5,+g,万，2.86这 样 大 于0的 数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0;（2）负数：像-5,-4焉，-0.68这样正数前面加个符号“一”（负号）的数叫做负数，负数小O于0;（3）0：既不是正数也不是负数，正 负 数 以0为 界.规 定：0是最小的自然数.【知识点二】正、负数的意义（1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的.（2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上 升、增 加、盈 利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负.【知识点三】有理数的概念整数和分数统称有理数.知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数.【知识点四】有理数的分类（-）按定义分类（二）按性质分类*正整数正有理数 正整数整 数 零正分数有 理 数 负整数有 理 数 零分 数【正分数负分数负有理数，负整数负分数知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但 除 了.无限不循环小数，其他小数都属于分数；（2）圆周率乃是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数.试 卷 第1页，共6页【知识点五】0 的意义（1）既不是正数也不是负数，正负数以0 为界；（2）为了表示没有而产生一个数0；（3）0 还可以表示为一个事件的起点；（4）与 0 对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方.【知识点六】带“非”字的有理数带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0,在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0 和正整数，这是学生易错的地方.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】正负数的意义与相反意义的量【例 1】1.如果把一个物体向右移动1m记作移动+h n,那么这个物体又移动了-1m 是什么意思？如何描述这时物体的位置？【变 式 1】（2024四川自贡二模）2.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著 九章算术 中，如果把收入5元记作+5元，那么支出8元 记 作（）A.-8 元 B.3 元 C.-3 元 D.+13 元【变式2】（2024七年级上山东青岛专题练习）3.下列各数中：5,-;，-3,0,-25.8,+2,负数有 个.【题型2】正负数的实际应用【例 2】（24-25七年级上全国假期作业）4.某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有50030（m L）”字样，请问50030（mL）”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503 mL,511mL,489 mL,473 mL,527 mL，问抽查产品的容量是否合格？【变 式 1】试卷第2 页，共 6 页（24-25七年级上全国随堂练习）5.两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业.小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.50.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（）A.4.4mm B.4.5mm C.4.6mm D.4.8mm【变式2】（2024甘肃陇南模拟预测）6.根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解 九章算术时写道:“正算赤，负算黑；否则以斜正为异.今两算得失相反，要令正负以名之.”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”.如果向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作.【题型3】有理数的分类【例 3】（24-25七年级上全国随堂练习）7.把下列各数的序号填在相应的大括号里：2 1（T）0：（2）3.1415926；200；（4）2020；6.143；）+108；（7）；（8）.整数：;正数：-;正分数：;负有理数：.【变 式 1】（2024七年级上全国专题练习）8.下列是数的分类，正确的是（）A.有理数整数分数B.整数有理数分数C.分数整数有理数D.有理数 整数I 0【变式2】（2024七年级上全国专题练习）试卷第3 页，共 6 页22 jr-3 149.在 3.14,0,-2,0.12,y ,0.2020020002.,中，正有理数有 个.【题型4】理解0 的意义【例 4】（20-21七年级全国假期作业）10.请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性.（例：0 是绝对值最小的数.例句除外）【变 式 1】（2024七年级上山东青岛专题练习）11.下列关于零的说法中，正确的是（）A.零是正数B.零是负数C.零既不是正数，也不是负数D.零仅表示没有【变式2】（2024七年级上山东青岛专题练习）12.下列关于“0”的说法正确的有 个.0 是正数和负数的分界点；0 是正数；0 是自然数；不存在既不是正数也不是负数的数；0 既是整数也是偶数；0 不是负数.【题型5】带“非”字的有理数【例 5】（23-24七年级上河南鹤壁期中）22 113.把下列各数分别填入相应的大括号内：-2,0,-0.314,25%,11,-4-,0.3,2）.5非负有理数：;整数：；自然数：非正整数：.【变 式 1】（23-24七年级上浙江宁波期中）121 4.已知下列各数：-8,2.57,6,-0.25,1-,0,其中非负有理数有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个试卷第4 页，共 6 页【变式2】（24-25七年级上全国,随堂练习）3 415.在+8,0,-，+，2023,-5,0.26,11.3 中，非负整数有 个.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例 1】（2024河北中考真题）16.如图显示了某地连续5 天的日最低气温，则能表示这5 天日最低气温变化情况的是（）星期 星期/2T 40c星期星期四【例 2】（2024湖北武汉中考真题）17.中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3C记作+3,则零下2 记作.2、拓展延伸【例 1】18.把下列各数填入相应的数集中：2 2 3+1、-5%、200、-3、6.8、0、一 一、0.12003407,1、-43.555、77%、-3-5 15 4（1）非负数集合：（2）负有理数集合：（3）正整数集合:（4）负分数集合:【例 2】19.把下列各数分别填在相应的横线上：试卷第5 页，共 6 页1,-0.20,3：,325,-789,0,-23.13,0.618,-2014,兀，0,1010010001.正数有：;分数有：;负数有：;正整数有：;非正数有：;负整数有：;非负数有：;负分数有：;非负整数有：.试卷第6 页，共 6 页1.这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动了 1 m.此时物体回到了原来的位置.【分析】根据正负数的意义即可得出答案.【详解】这个物体又移动了-1m 表示物体又向左移动了 1 m.此时物体回到了原来的位置.【点睛】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是正确理解“正”和“负”的相对性.2.A【分析】根据正数和负数的定义进行解答.本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键.【详解】解：如果把收入5元记作+5元，那么支出8元记作-8 元.故选：A.3.3【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意零既不是正数，也不是负数.掌握正负数的定义是解决问题的关键.根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数.【详解】解：5 0,是正数；，是负数；-3 0,是负数；0 既不是正数，也不是负数；-25.8 0,是正数；负数有-：，-3,-25.8,共 3 个.故答案为：3 个.4.合格，过程见详解【分析】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个为正(或负)，则其相反意义的量就用负(或正)表示.理解50030(m L)的意义,根据题意进行判断即可.【详解】解：“500 土 30(m L)”是500 mL为标准容量，470-530(mL)是合格范围，故503 mL,511mL,489 mL,473 mL,527 m L,抽查产品的容量是合格的.答案第1 页，共 6 页5.D【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键.【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm4.7mm,4.8mm不在尺寸范围内，故选：D.6.-70米【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果；【详解】解：向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作-70米；故答案为：-70米7.；【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.根据有理数的分类，即可求解.【详解】解：整数：；正数：正分数：负有理数：故答案为：；.8.A【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识.按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案.【详解】解：有理数可分为整数和分数，故 A 选项正确，符合题意；整数可分为：正整数，0,负整数，故 B 选项错误，不符合题意；分数可分为：正分数，负分数，故 C 选项错误，不符合题意；有理数可分为整数和分数，故 D 选项错误，不符合题意.故选：A.9.3【分析】本题主要考查了有理数的知识，根据正有理数的概念分析各数，即可获得答案.22 7T-3 14【详解】解：在 3.14,0,-2,O.i2,y ,0.2020020002.,中，答案第2 页，共 6 页正有理数有：3.14,0.1 2,共 3 个，故答案为：3.1 0.见解析【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决.【详解】解：零既不是正数也不是负数；零小于正数，大于负数；零不能做分母；零是最小的非负数；零的相反数是零；任何不为零的数的零次幕为1:零乘以任何数都是零等.【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性.11.C【分析】本题考查了对数的理解与运用，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数.依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，从而即可根据以上内容判断求解.【详解】解：A、零不是正数，说法错误；B、零不是负数，说法错误；C、零既不是正数，也不是负数，说法正确；D、零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；故选：C.12.4【分析】本题考查了对数字0 的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数.依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整答案第3 页，共 6 页数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解.【详解】0是正数和负数的分界点，故正确；0既不是正数，也不是负数，故错误，正确；0是自然数，故正确；存在既不是正数也不是负数的数，即0,故错误；0既是整数也是偶数，故正确；故答案为：4.22 313.0,25%,11,0.3,2-；-2,0,11；0,11；-2,07 5【分析】本题主要考查有理数的分类，熟知有理数分类是解题关键.根据有理数的分类填空即可.22 3【详解】解：非负有理数：0,25%,11,0.3,2-.；整数：-2,0,11.；自然数：0,11.;非正整数：-2,0.14.D【分析】此题主要考查了有。