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第4章 力学量随时间的演化与对称性,,§4.1 力学量随时间的演化§4.2 波包的运动，Ehrenfest定理§4.3 守恒量与对称性的关系§4.4 全同粒子体系与波函数的交换对称性,（一）守恒量 （二）能级简并与守恒量的关系,§1 力学量随时间的演化,（一）守恒量,量子力学中力学量随时间的演化问题，与经典力学不同量子力学中，处于量子态 下的体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定值，一般来说，只具有确定的概率分布和平均值先讨论平均值,如A不显含t,,若,则这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变接下来证明在任何态之下A的概率分布也不随时间改变由于,选择包括H和A在内的一组力学量完全集，其共同本征态记为,在 态下，在t时刻测量A得Ak的概率为 ，而,对于Hamiton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变A称为体系的一个守恒量例1 设体系H不显含t，证明H是守恒量，即能量守恒例2 对于自由粒子 ，证明动量p是守恒量例3 中心力场中运动的粒子： 证明角动量守恒。

讨论：（a）与经典力学中守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定但A的平均值和测值概率的分布不随时间变化b）量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值守恒量定态,体系的一种特殊状态，即能量本征态体系的一种特殊力学量，与H对易在定态下，一切力学量（不显含t，不管是否守恒）的平均值和测值概率分布不随时间改变而守恒量则在一切状态下（不管是否定态）的平均值和测值概率分布都不随时间改变二）能级简并与守恒量的关系,定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0, [G,H]＝0，但 ，则体系能级一般是简并的推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本征态 ），则 必为F的本征态即 也是H的本征值为E的本征态但按假定，能级E无简并，所以 与 只能是同一个量子态，最多差一个常数因子即,位力（virial）定理,当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化§2波包的运动，Ehrenfest定理,设质量为m的粒子在势场 中运动，用波包 描述。

粒子坐标和动量的平均值随时间变化如下：,,与经典粒子运动满足的正则方程相似Ehrenfest定理,在物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当此外，还要求势场 在空间变化很缓慢，使得波包中心处的势场 与粒子感受到的势 很接近另外，要求在人们感兴趣的运动过程中整个波包扩散不太厉害试在波包中心 附近对 作Taylor展开，,§3 守恒量与对称性的关系,,大家已经知道，在经典力学中，产生能量守恒和动量守恒有着深刻的物理原因：产生能量守恒和动量守恒的根源在于时间和空间的均匀性时间的均匀性 能量守恒空间的均匀性 动量守恒空间的各向同性 角动量守恒,那么在量子力学中，又是什么样的？,设体系的状态用 描述,考虑某种线性变化Q(存在Q－1，不依赖t),体系Hamiton量在变换Q下的不变性的数学表达,厄米算符,1 空间平移不变性与动量守恒,考虑沿x方向的无穷小平移,波函数变化为：,为相应的无穷小算符,所以平移 的算符可表为,三维空间的无穷小平移,动量算符,此即动量守恒的条件。

设体系对于平移具有不变性， ，应用到无穷小平移， ，则有,2 空间旋转不变性与角动量守恒,先考虑一个简单情况，即体系绕z轴旋转无穷小角度,角动量z分量的算符,考虑三维空间中绕某方向n（单位矢）的无穷小旋转,角动量算符,设体系具有空间旋转不变性， ，对于无穷小旋转， ，则导致,无穷小旋转 的变换表示为,角动量守恒,§4 全同粒子体系与波函数的交换对称性,一、全同粒子系的交换对称性,1 全同粒子,到目前为止，我们只讨论了单粒子的问题，现在开始讨论有关多粒子体系的问题在自然界中，经常碰到的多粒子系是由同类粒子组成的所谓同类粒子是指粒子具有完全相同的内禀的客观属性，如静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等人们称具有完全相同的内禀的微观粒子为全同粒子2 全同性原理,在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但我们仍然可以区分这两个粒子因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的位置和速度，于是，我们可以判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，如图（a）所示在量子力学中，情况完全不是这样。

设初始时刻，两个全同粒子的位置可以用两个波函数来表示（如图b） 在运动过程中，两个波函数会在空间发生交叠（如图c），由于两个粒子固有性质完全相同，它们的位置和动量又不能象经典粒子那样具有确定值因此，在两个波函数交叠的区域内，我们不能区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子由此可见：全同微观粒子只有当它们的波函数完全不重叠时，才是可以区分的；当波函数发生重叠后，它们就不可区分了全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有的特性由于这一特性，使得全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变这个结论被称为全同性原理它是量子力学中的基本原理，是量子力学的基本假设之一这一全同性原理对由相同的微观粒子组成的多粒子体系的波函数加了很强的限制3 全同粒子体系的交换对称性,现在，我们来看看全同性原理对多粒子体系的性质会引起什么结论考虑N个全同粒子组成的多粒子体系，体系的波函数为,其中 表示第i个粒子的全部坐标（例如包括空间坐标和自旋坐标等）根据全同性原理，由于我们无法区分哪个是第i个粒子，哪个是第j个粒子因此，我们认为上述两量子态是相同的用符号 表示第i个粒子与第j个量子的全部坐标的交换，即 表示交换算符：,显然,对称波函数,反对称波函数,全同粒子的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。

可以证明：全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变，即：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或只能是反对称的，它们的对称性不随时间的变化而改变如果体系在某一时刻处于对称的态，则它将永远处于对称的态上自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子等，都是费米子如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是对称的，就称这种粒子为玻色子在统计物理中，它们服从玻色－－爱因斯坦分布如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是反对称的，就称这种粒子为费米子在统计物理中，它们服从费米－－狄拉克分布实验表明：自旋为整数或零的粒子，如光子、π介子等，都是玻色子二、波函数的对称化和反对称化,从上面的讨论，我们知道：根据全同性原理的要求：,对于费米子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是反对称的，即,对于玻色子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是对称的，即,下面将讨论，在忽略粒子间相互作用情况下，如何给出全同粒子体系的波函数为了简单，主要讨论两个粒子组成的体系设有两个全同粒子（忽略它们的相互作用），则体系的哈密顿算符为：,其中 表示单粒子的哈密顿算符，由于是全同粒子，所以 和 在形式上是完全相同的。

它们的本征方程为 ：,设体系的本征方程为,代入有：,一般地，体系的总函数式，当任意交换两个粒子时，不具有一定的对称性，即不满足全同性原理的要求于是，为了得到满足全同性原理要求的波函数，需要将总函数表达式进行对称化或反对称化构建a）对于玻色子，要求波函数对称,（1） 对称波函数可如下构成,（2） 波函数可如下构成,（b）对于费米子，要求波函数反对称,从上式还可以发现：若 ，即两个费米子同时处于同一个量子态，则有 ，即这样的状态是不存在的这就是著名的Pauli不相容原理：不可能有两个相同的费米子处于同一个量子态三、N个全同费米子构成的体系,考虑三个无相互作用全同费米子组成的体系设三个粒子处于三个不同的单粒子态 ，则反对称波函数可表示为：,例,一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态 、 、 ，求系统波函数Solve,推广到N个费米子组成的体系设N个粒子处于N个不同的单粒子态 ，则反对称波函数可表示为：,交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这就使行列式改变符号。

所以 是反对称的如果N个粒子中有两个处于同一个状态，则斯莱特行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使　　　，几率 要使 ，不能有两费米子处在同一单粒子态这就是泡利的不相容原理是归一化的， 是 的归一化因子将斯莱特行列式展开，共有 项如上式的形式，因而, 是体系薛定谔方程 的本征函数解四、N个全同玻色子构成的体系,玻色子不受Pauli原理的限制，可以有任意数目的玻色子处于相同的单粒子态设有 个玻色子处在 态上 ， 这些 中，有些可以为0，有些可以大于1，对称的多粒子波函数可以表示成,这里P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换这样的置换共有：,归一化的波函数可表为：,一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用可能的单粒子态有三个 ，问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子态构成？,Solve:,（1）三个玻色子分别处于三个单态上：,状态数：,Ex.2,（2）三个粒子处于同一个单态上,（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态,三种十个态！,一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有两个可能的单粒子态问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态构成？,Solve:,设两单粒子态为 和 Ex.3：,有两种情况：,(1) 三个玻色子处在同一个状态2) 两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态第一种情况：,三粒子同处于 态：,三粒子同处于 态：,第二种情况：,两粒子同处于 态，一粒子处于 态,两粒子同处于 态，一粒子处于 态,。