高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制素材 新人教B版必修4（通用）.doc

1.1任意角的概念与弧度制知识梳理1.任意角(1)角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角即任意角.(3)角的记法：用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”).(4)角的分类：按旋转方向分为正角、零角、负角；按终边所在位置分为象限角和象限界角.2.终边相同的角(1)规定：将角的始边与x轴的正半轴重合，角的顶点与原点重合，这样就把角放在直角坐标系中.这样给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，但是，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角有无数个.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式.3.象限角和象限界角(1)象限角：在平面直角坐标系xOy中，总是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，如果角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.(2)象限界角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，我们把它称为象限界角.(3)表示 第一象限角的集合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}； 第二象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}； 第三象限角的集合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z}; 第四象限角的集合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}； 终边落在x轴的正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°,k∈Z}； 终边落在x轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+180°,k∈Z}； 终边落在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°,k∈Z}； 终边落在y轴的正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z}； 终边落在y轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°,k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合：{α|α=k·180°+90°,k∈Z}； 终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°,k∈Z}. 象限角与象限界角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式.例如：终边落在y轴的负半轴上的角的集合也可以表示为{x|x=k·360°-90°,k∈Z}.4.弧度制(1)定义：以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.(2)度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角.(3)记法：弧度单位用符号“rad”表示或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.5.弧度制与角度制的换算(1)换算公式：α(rad)=()°，n°=(rad).(2)特殊角的弧度数角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π2π6.弧度制下的公式 如图1-1-1所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数.图1-1-1(1)弧度数公式：|α|=；(2)弧长公式：l=|α|r；(3)扇形面积公式：S=lr=|α|r2.知识导学1.课前复习初中学习过的角的定义、特点、范围.2.学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求通过弧度制来认识任意角.要实现这一目标，可以多做角度与弧度的互化练习，熟记常用特殊角的弧度数.疑难突破1.当角α与角β的终边相同时，α与β相等吗？为什么与角α终边相同的角的集合可以写成S={β|β=α+k·360°,k∈Z}?剖析:角的定义有两种：静态定义和动态定义.难点是受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.突破这个难点的途径是用角的动态定义来分析. 若α、β的终边相同，则它们的关系为将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得β，所以α、β的数量关系为：β=k·360°+α(k∈Z)，即α、β的大小相差360°的整数k倍.所以α与β不一定相等. 例如：β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°. 将30°角的终边按逆时针旋转1周即得角β=1·360°+30°=390°；按逆时针旋转2周即得角β=2·360°+30°=750°；按逆时针旋转3周即得角β=3·360°+30°=1 110°；按逆时针旋转4周即得角β=4·360°+30°=1 470°；…；所以390°，750°，1 110°，1 470°，…都与30°角的终边相同. 将30°角的终边按顺时针旋转1周即得角β=(-1)·360°+30°=-330°；按顺时针旋转2周即得角β=(-2)·360°+30°=-690°；按顺时针旋转3周即得角β=(-3)·360°+30°=-1 050°；按顺时针旋转4周即得角β=(-4)·360°+30°=-1 410°；…；所以-330°，-690°，-1 050°，-1 410°…都与30°角的终边相同. 由以上可看出β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°，它们的数量关系是β=k·360°+30°(k∈Z). 因此所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点：(1)上式中角α为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“+”.如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，即与-30°角终边相同的角；(4)终边相同的角不一定相等，但是相等的角，终边一定相同；(5)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角(一般找0°—360°的角)，然后用集合和符号语言表示出来.2.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角有什么差别？剖析:受初中所学角的影响，看到这四种角，往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角即初中所学角的范围内，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住其各自的取值范围. 这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角{α|0°＜α＜90°},0°—90°的角{α|0°≤α≤90°}，小于90°的角{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.3.为什么β=k·360°+(k∈Z)这种写法是错误的？剖析:很多同学这样写，但是并不认为是错误的，并且屡错屡犯，很难改正.突破口是正确认识角度制和弧度制. 弧度制和角度制一样，都是度量角大小的方法，只是单位不同.在同一道题目中，用了弧度制后，就不能再用角度制；同样，用了角度制后，也不能再用弧度制，即角度制和弧度制不能混用.就像长度单位米和千米一样，不能写出1米+1千米这样的式子，这样会容易引起混乱.就如同人的穿着打扮全身要上下协调一样，写成β=k·360°+(k∈Z)，就像一个人上身穿着羽绒服，脚上穿着凉鞋一样，这种打扮显然是不合适的.所以角度制与弧度制必须分开使用，不能在同一问题中混合使用. 弧度制与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上都是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示.。