第十课--专题（二）构造全等三角形常见辅助线的添法 【高效备课精研+知识精讲提升】人教版八年级数学上册.pptx

1人教版八年级数学上册12.2 全等三角形的判定 复习小专题（二）构造全等三角形常见辅助线的添法知识点一：利用利用“连接公共边连接公共边”构造全等三角形构造全等三角形3典例分析典例分析例例1 1：如图如图，四边形四边形ABCD中中，AB/CD，AD/BC,求证：求证：DC=AB，AD=BC.ABCD如图如图，在四边形在四边形ABCD中中，CBAB于点于点B，CDAD于点于点D，点点E、F分别在分别在AB，AD上上，求证求证：CD=CB.大显身手大显身手【知识点【知识点 截长补短模型】截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于【模型解读】截长补短的方法适用于求证求证线段的和差倍分线段的和差倍分关系关系.截长，指在截长，指在长线段长线段中中截取一段等于已截取一段等于已知线段；知线段；补短，指补短，指将短线段延长将短线段延长，延长部分等于已知线段延长部分等于已知线段该类该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程补短法构造全等三角形来完成证明过程知识点二：利用利用“截长补短法截长补短法”构造全等三角形构造全等三角形小明遇到这样一个问题：小明遇到这样一个问题：如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，B2C求证：求证：ACAB+BD；小小明通过思考发现，可以通过明通过思考发现，可以通过“截长截长、补短、补短”两种方法解决问题：两种方法解决问题：方法一：如图方法一：如图2，在，在AC上截取上截取AE，使得，使得AEAB，连接，连接DE，可以得到全等，可以得到全等三角形，进而解决问题三角形，进而解决问题思路：思路：做辅助线（做辅助线（AE=AB）ABDAED（SAS）B=AEDBD=ED AED=2 CB2C EDC=CEC=EDBD=EDACAB+BD方法二：如图方法二：如图3，延长，延长AB到点到点E，使得，使得BEBD，连接，连接DE，可以得到等腰，可以得到等腰三角形，进而解决问题三角形，进而解决问题如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，ABC2C求证：求证：ACAB+BD；“补短法补短法”做辅助线（做辅助线（BEBD）思路：思路：E=BDE E=CAEDACD（AAS）AC=AEACAB+BDBEBDABC2C81.如图，如图，在在ABC中中,B=2C，AD是是BC边上的高边上的高.求证求证:CD=AB+BD.ABCDE大显身手大显身手92.如图，如图，AD为为ABC的角平分线的角平分线，AB AC，求证求证:ABAC BDDC.ABCDE大显身手大显身手做辅助线（做辅助线（AEAC）思路：思路：ABAC=BEBE BDEDAEDACD（SAS）ED=CDBDDC=BDEDABAC BDDC103.如图，已知ACBD，AE、BE分别平分CAB和DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BDABCED温馨提示温馨提示:从结论出发,把较长的线段AB截成与AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC,使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角形全等即可证明.大显身手大显身手611方法一：“截长法”构造全等三角形ABCEDF解：如图,段AB上截取AF=AC，连接EF1234AE,BE分别平分CAB和DBA1=2,3=4.在ACE和AFE中,AC=AF1=2AE=AEACEAFE(SAS),55=C.ACBD,C+D=180又5+6=180,6=D在EFB和EDB中,12方法二：“补短法”构造全等三角形ABCED解：如图,延长AC至点F，使AF=AB,连接EF.FAE,BE分别平分CAB和DBA,1=2,3=4.1234在AEF和AEB中,AF=AB1=2AE=AEAEFAEB(SAS),F=3，EF=EB.3=4,F=4.ACBD,FCE=D.在EFC和EBD中,13归纳总结归纳总结 一、一、“截长补短法截长补短法”构造全等三角形解决问题构造全等三角形解决问题截截长法长法：即在即在长线段上长线段上截截取一段取一段,使其等于其中一短线使其等于其中一短线段段,然后然后证证明明剩下的线段等于另一短线段剩下的线段等于另一短线段;补短法补短法：即即延长短线段延长短线段,使使其延长部分等于另一短线段其延长部分等于另一短线段,再再证明延长后的线段等于长线段证明延长后的线段等于长线段,或者或者延长短线段延长短线段,使其使其等于长线段等于长线段,然后然后证明延长的部分等于另一条短线段证明延长的部分等于另一条短线段.14归纳总结归纳总结二、二、不管是不管是截截长法还是补短法长法还是补短法,往往都往往都需要连接需要连接其他线段其他线段，构造全等三角形构造全等三角形，利用全等三角形的利用全等三角形的性质解决问题性质解决问题.知识点三：利用利用“倍长中线法倍长中线法”构造全等三角形构造全等三角形【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用几何问题时，常常采用“倍长中线法倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中添加辅助线所谓倍长中线法，就是线法，就是将三角形的中线延长一倍将三角形的中线延长一倍，以便构造出，以便构造出“8“8字字”全等全等三角形三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法【，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法【常见模型】常见模型】例1 如图，BD是ABC的中线，AB6，BC4，求中线BD的取值范围典例分析E做辅助线（做辅助线（DEBD）思路：思路：ABDCED（SAS）AB=CE在在BCE中，三边关系CEBC BE CE+BC17典例分析温馨提示：温馨提示：通过添加辅助线通过添加辅助线,构造全等三角形构造全等三角形,将将AD，AB，AC转化转化到同一个三角形中到同一个三角形中来求解来求解.例例2 2：如图，：如图，在在ABC中中，AD是是BC边上的中线边上的中线,求证求证：AD (AB+AC)ABCDE证明证明:延长延长AD至点至点E,使得使得DE=AD,连接连接BE.AD是是BC边上的中线，边上的中线，点点D为为BC的中点，的中点，BD=CD.BD=CD，1=2，DE=DA，BDE CDA（SAS），），BE=AC，在在ABE中，中，AEAB+BE.在BDE和CDA中,2ADAB+AC，即：即：ADEFABCEDFG温馨提示：延长ED至点G,使DC=DE连接CG，FC.19归纳总结“倍长中线法倍长中线法构造全等三角形解决问题构造全等三角形解决问题(1)“倍长中线法倍长中线法”就是将三角形的就是将三角形的中线中线延延长一倍长一倍,构造出构造出“8字字”全等三角形全等三角形,从从而而用全等三角形的有用全等三角形的有关关知识来解知识来解决问决问题题的方法的方法；(2)利利用用“倍倍长中线法长中线法”的证明过程的证明过程:延长已知中线到某点延长已知中线到某点,使使新线段新线段(延长的那部分线段延长的那部分线段)的长度等于已知中线的长度的长度等于已知中线的长度,再再利用利用SAS证两三角形全等证两三角形全等(隐含条件是对顶角相等隐含条件是对顶角相等).20课堂小结全等三角形常添加的辅助线“连接公共边”构造全等三角形“截长补短法”构造全等三角形“倍长中线法”构造全等三角形“作垂线”构造全等三角形21典例分析知识点四：利用利用“作平行线作平行线”构造全等三角形构造全等三角形例例4 4：如图，：如图，D是ABC的边BA延长线上点,且AD=AB,E是边AC上一点,且DE=BC.求证:DEA=C.ABCDEF已知中点添平行已知中点添平行,构造全等三角形构造全等三角形.22典例分析知识点五：利用利用“作垂线作垂线”构造全等三角形构造全等三角形例例5 5：如图，如图，B=C=90,M是BC的中点，DM平分ADC.求证:AM平分DAB.ABCMD过点过点M作作MNAD,构造全等三角形构造全等三角形.N23归纳总结 为了完成问题的解答，需在图形中添加一些为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线线,称为称为如延长、连接、作平行、作垂直、如延长、连接、作平行、作垂直、截取等辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，截取等辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，使问题轻松地能较容易找到一些量之间的关系，使问题轻松地得到解决得到解决.知识点四：利用利用“作平行线作平行线”构造全等三角形构造全等三角形24思维导图全等三角形常添加的辅助线“连接公共边”构造全等三角形“截长补短法”构造全等三角形“倍长中线法”构造全等三角形“作平行线”构造全等三角形“作垂线”构造全等三角形25 对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？蓦然回首26导学案章末测试；导学案章末测试；作业布置27大显身手大显身手1.如图：如图：CDAB，BEAC,垂足分别是垂足分别是D,E，BE和和CD相交相交于点于点O,AB=AC,B=C.求证：求证：OD=OEABCDEO。