初等数论在中学数学竞赛中应用.doc

目 录摘 要 IIABSTRACT III1 绪论 12 整除理论及其应用 1 2.1 整除 1 2.2 带余除法定理 3 2.3 最大公约数与最小公倍数 4 2.4 高斯函数 53 同余理论及其应用 7 3.1 同余的定义及基本性质 7 3.2 孙子定理 94 不定方程及其应用 10 4.1一次不定方程 11 4.1.1 二元一次不定方程 11 4.1.2 一次不定方程组 12 4.2 高次不定方程 135 结束语 15参考文献 16致 谢 17 摘 要初等数论是主要研究整数性质的数学分支，包括整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程等 初等数论知识常被应用于各类的中学数学竞赛，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛”等,题目所占比例非常大本文主要从初等数论的整除、同余以及不定方程这三大理论中，结合对历年的中学数学竞赛题目的分析、解题过程与反思总结归纳初等数论知识在中学数学竞赛中的应用，能够帮助大家对初等数论有更深入地了解，并且在数学竞赛中更游刃有余地解决问题。

关键词：初等数论；数学竞赛；整除；同余；不定方程ABSTRACTElementary Number Theory is the math subfield that mainly researches the nature of integer, including integer divisible theory, congruence theory and some special indefinite equation and so on. The knowledge of elementary number theory is often applied to all kinds of math contests of middle school, such as domestic Hua Luogeng Golden Cup Contest, "Cup of Hope" National Mathematics Invitational Contest ,the National Middle and Senior School Maths Tournament, Olympics Maths Contest and International Olympics Maths Contest and so on, and the questions account for a large proportion. This article mainly through the three theories of integer divisible, congruence and indefinite equation, and combines analyses, the process of figuring out questions and reflection and summary of the questions of middle school contests over the years to conclude the application of elementary number theory in the middle school contests. This can help us deeply understand the elementary theory and solve problems with skill and ease in the math contests.Key words:Elementary number theory;Math contest;Divisuble;Congruence;Indefinite equation 1 绪论 初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数学分支。

它是数论的一个最古老的分支它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程在中学数学的学习中，初等数论知识常被广泛应用于数学竞赛中，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛(简称IMO（即International Mathematical Olympiad）)”等竞赛中初等数论的题目所占题目比例据不完全统计可达30%由此可见，初等数论在中学数学竞赛中的地位是非常重要的 本文较为全面地介绍了初等数论中的整除、同余以及不定方程这三个理论在中学数学竞赛中的应用首先是简单地介绍了这三大理论的基本概念及性质，其次精心挑选了历年数学竞赛中的典型案例，对案例进行分析、解答与反思详细说明初等数论知识在中学数学竞赛中的应用希望大家能够通过本文深入地了解数学竞赛中的初等数论问题，在以后的数学竞赛中得到有效地发挥2 整除理论及其应用初等数论是研究整数基本性质的一门十分重要的数学基础课程，由此而言，初等数论的基础便是整除理论了，而最大公约数理论和算术基本定理则是初等数论的中心内容2.1 整除定义2.1.1 设，，，如果存在整数，使，则称能被整除，或整除，记作|.否则称不能被整除，记作．当|时，称是的倍数，是的约数. 当|，且，，，称为的真（非显然）约数．定理2.1.1[2] (1)1|，|0，|.(2)若|，，则=0.(3)若|，则，，，；反之亦然.(4)若|，|，则|.（整除的传递性）(5)，为任意整数，若|，|，则|；反之亦然.(6)若.(7)若|，|，则.(8)若，|，则.(9)若是的真约数，则.例1 (第20届全俄中学生数学奥林匹克试题)已知自然数A的各位数字之和等于自然数3A的各位数字之和。

1)求证A能被3整除；(2)求证A能被9整除；(3)A一定能被27整除，这个结论对吗？ 思路点拨:由已知条件及问题可知本题应从被3整除与被9整除的数的数字特征着手 解:(l)由题意知3A能被3整除，故3A的各位数字之和能被3整除，由此可知，A的各位数字之和能被3整除，从而A能被3整除 (2)由题(l)可知A能被3整除，故3A能被9整除，从而3A的各位数字之和能被9整除，于是A的各位数字之和能被9整除，故A能被9整除 (3)这个结论不对，比如A=9与3A=27的各位数字之和相等，但A不能被27整除例2 （2012年希望杯初一第二试）五位数能被3，7和11整除，则________ 思路点拨：因为该五位数能被3,7,11整除，由整除的性质可知该数也能被整除试除知，解得，所以例3 今天（2007年4月15日，星期日）是第 18 届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么今天以后的第天是星期几？（第18届希望杯初一第2试12题）[11] 思路点拨：本题涉及到有关星期几的问题，固然想到本题是与除数7的整除问题有关解 ：因为（其中都是正整数），所以，即今天以后的第天是星期三。

本题不仅利用整除的性质进行分析解答，还用到了带余除法的知识，下面将分析带余除法定理在中学数学竞赛中的简单应用2.2 带余除法定理 定理2.2.1 若，是给定的两个整数，且，则一定存在唯一的一对整数，满足，．（带余除法定理）例4 （2013全国中学生数学竞赛-初中组第14题）如果将正整数放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称为的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数，在中都至少有一个为的魔术数.[3] 解：若中的一个正整数是则有，但，矛盾．故又当为时，对任意一个正整数，设其为位数（为正整数）被7除的余数两两不同若不然，存在正整数()满足，即，从而，矛盾故必存在一个正整数，使得所以，的最小值为7抽屉原理也叫鸽笼原理,它是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出来的,因此也称作狄利克雷原理在数论中有着广泛的应用，从而被应用于数学竞赛中2.3 最大公约数与最小公倍数 定义2.3.1 设是不完全为零的整数，如果，则称为的公约数，全体公约数中最大的一个数称为的最大公约数，记作，若，则称互质（也称互素），若中每两个数都互质，则称两两互质（互素）.[2] 定义2.3.2 设是非零整数.若有整数，则称为的公倍数，公倍数中最小的正数，称为的最小公倍数，记作[].[2]例5 （黄冈市初中竞赛题）23个不同的正整数的和是4845，试问：这23个数的最大公约数可能达到最大值是多少？写出你的结论，并说明理由。

思路点拨：可设这23个不同的正整数为，且，， ，则，要使最大，则应最小，故可求出的取值范围，再根据，求出的值解：设这23个互相不同的正整数分别为：，且它们的最大公约数为，则有：,,由题意可知：因为也是互相不同的正整数，所以因此，所以又因为，因此的最大值可能是17此时这23个不同的正整数可能为例6 （北京市竞赛试题）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡张如果已知的最小公倍数为60，的最大公约数为4，的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？思路点拨：由题可知，本题的切入点是最大公约数和最小公倍数解：因为，，所以是3与4的倍数，而3又与4互质，则是12的倍数又因为，所以 因为，当时，中至少有一个含有因数若中有因数5，则若中没有因数5，则当时，，故所以张华发出的贺卡为4张或20张 从例题5与例题6的解题过程可以看出，一道竞赛题中往往需要利用多个知识点去进行解决，所以在掌握知识定义的同时，也要灵活运用其性质进行解题2.4 高斯函数学过高斯函数的同学知道高斯函数的定义域为全体实数，值域为全体整数而初等数论则主要是研究整数性质的,正因为两者的相似性，我们可以利用初等数论中的一些定理以及公式来解决有关高斯函数的数学问题。

而初等数论中的题目经常是中学数学竞赛中的压轴题由此可见,高斯函数在中学竞赛数学中的地位也不容小觑 定义2.4.1[5] 设不超过的最大整数称为的整数部分，记作，也称为高斯函数(或取整函数)，称为的小数部分，记作. 由定义可推出定理2.4.1定理2.4.1[4] 设,则有（1）若，则；（2）若，则；当时，；（3）对任意整数有； （4），其中等号有且仅有一个成立；；（5）， ；（6） 对任意正整数有.运用定理2.4.1和高斯函数的意义，可以轻松的解决中学数学竞赛中与之相关的问题例7 （2014年全国初中数学联合竞赛）设表示不超过实数的最大整数，令已知实数满足，则思路点拨：设，则，因式分解得，所以即，解得，显然 解答本题时，要先理解所表示的含义在进行计算解答例8 （2008年青少年数学国际城市邀请赛） 计算的值（2008共出现了2008次）(表示不超过实数的最大整数)思路点拨：有些学生看到有这么多个2008可能对本题有些无从下手，尽管是2008次开平方运算，但只要学。