高中数学立体几何知识点与解题方法技巧.pdf

立体几何知识点& 例题讲解一、知识点常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行 . 3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直 . 4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7. 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则 cosa，b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 8异面直线所成角：cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）9. 直线AB与平面所成角：sin|AB marcABmuuu r u ruu u ru r(mu r为平面的法向量 ). 10、空间四点A、 B 、C、P共面OCzOByOAxOP，且 x + y + z = 1 11. 二面角l的平面角cos|m narcmnu r ru rr或cos|m narcmnu r ru rr（mu r，nr为平面，的法向量） . 12. 三余弦定理：设AC是内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为1，AB与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 13. 空间两点间的距离公式若 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB ABuuu ru uu r uu u r222212121()()()xxyyzz. 14. 异面直线间的距离：|CD ndnuu u r u u rr (12,l l是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离 ). 15. 点B到平面的距离：|AB ndnuuu r u u rr（nr为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 16. 三个向量和的平方公式：2222()222abcabca bb cc arrrrrrr rr rr r2222 | |cos,2 | | cos,2 | | cos,abcaba bbcb ccac arrrrrr rrrr rrrr r17. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 18. 面积射影定理cosSS.( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的). 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 47 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -19. 球的组合体 (1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）二提示：1. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线 线线 面面 面判 定线 线线 面面 面性 质线 线线 面面 面线面平行的判定：abbaa ，面 ，面a b 线面平行的性质：面 ，面 ，bab三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO面 ，为在 内射影，面 ，则aaOAaPOaPOaAO； a P O 线面垂直：abacbcbcOa ， ， ，a Ob c 面面垂直：aa面 ，面面 面 ， llaaaalabab面 ， 面面 ，面 aaa b 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 47 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角，0 90（2）直线与平面所成的角，0 90时， 或0bob（ ）二面角：二面角的平面角 ，30180loo（三垂线定理法：A作或证AB于 B，作BO棱于 O，连 AO ，则 AO棱l， AOB 为所求。

）三类角的求法：找出或作出有关的角证明其符合定义，并指出所求作的角计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1 如图，正三棱柱111ABCA B C的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1AA DB的大小；（）求点 C 到平面1ABD的距离考查目的： 本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程 ：解法一：（）取 BC 中点 O，连结AOA B C D 1A1C1B精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 47 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABCQ为正三角形，AOBCQ正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1BO，在正方形11BB C C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1BOBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB 平面1A BD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1A BD中，作1GFAD于F，连结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGABQ，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1A BD中，11152 26A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1A BD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSdgg，1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22解法二：（）取BC中点 O，连结AOABCQ为正三角形，AOBCQ在正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC平面11BCC B，AD 平面11BCC B取11B C中点1O，以 O为原点，OBuuu r，1OOu uuu r，OAuu u r的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ， ，( 11 0)D， ，1(0 23)A，(0 03)A ，1(12 0)B，1(123)ABu uu r， ，( 210)BDuuu r， ，1( 123)BAuu u r，A B C D 1A1C1BO F z A C D 1A1CO F 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 47 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -12200AB BDu uu r uuu rQg，111 430AB BAuu ur uu u rg，1ABBDu u uru u u r，11ABBAuu uruu u r1AB 平面1ABD （）设平面1A AD的法向量为()xyz， ，n( 113)ADuuu r， ，1(0 2 0)AAuuu r， ，ADuuu rQn，1AAuuu rn，100ADAAuuu rguuu rg，nn3020 xyzy，03yxz，令1z得(3 01)，n为平面1A AD的一个法向量由（）知1AB 平面1ABD，1ABuuu r为平面1A BD的法向量cosn，11133642 2 2ABABABuuuruuurguuurggnn二面角1AA DB的大小为6arccos4（）由（） ，1ABuuur为平面1A BD法向量，1( 2 00)(123)BCABu u u ruuu rQ， ，点 C 到平面1A BD的距离112222 2BC ABdABuuu r uuurguuur小结：本例中（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面1AMB的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点 2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD 与 SE 间的距离 . 思路启迪 ：由于异面直线CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程 ：如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 47 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -EF为BCD的中位线，EFCDCD,面SEF, CD到平面SEF的距离。