中学学习微积分的意义.ppt

中学学习微积分的意义中学学习微积分的意义中学学习微积分的方法中学学习微积分的方法直观微积分直观微积分通过直观说理学习微积分，而不是不说理通过直观说理学习微积分，而不是不说理平均速度和瞬时速度，平均变化率和瞬时变平均速度和瞬时速度，平均变化率和瞬时变化率割线与切线斜率的计算割线与切线斜率的计算通过数值的近似计算理解微积分思想通过数值的近似计算理解微积分思想计算器和计算软件的使用计算器和计算软件的使用微积分编写的指导思想微积分编写的指导思想1.打破传统的教学顺序，越过极限理论和连续函打破传统的教学顺序，越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心——微积分基本定理微积分基本定理. 2.本教材从学生所喜爱的登山运动出发，创设学本教材从学生所喜爱的登山运动出发，创设学习导数的情景，以测量山顶高度为实际背景，习导数的情景，以测量山顶高度为实际背景，导出微积分学基本定理导出微积分学基本定理.这种做法的理论依据仅这种做法的理论依据仅仅是中学生所熟知的直角三角形的解法仅是中学生所熟知的直角三角形的解法勾股定理 y x 直角三形中的边角关系直角三形中的边角关系教学要求教学要求—理解微积分学大意理解微积分学大意1. 以运动的平均速度、曲线割线的斜率为背景，以运动的平均速度、曲线割线的斜率为背景，认识函数的平均变化率；以运动的瞬时速度和认识函数的平均变化率；以运动的瞬时速度和曲线切线的斜率为背景，认识函数的瞬时变化曲线切线的斜率为背景，认识函数的瞬时变化率，从而引出导数的概念率，从而引出导数的概念.由此过程，让学生体会导数与现实生活多么密由此过程，让学生体会导数与现实生活多么密切，理解导数的真正含意切，理解导数的真正含意.2. 学会用导数定义，求出部分幂函数的导学会用导数定义，求出部分幂函数的导数，并记住基本初等函数的求导公式；数，并记住基本初等函数的求导公式；并会用四则运算公式和复合函数的求导并会用四则运算公式和复合函数的求导法则，求一些比较复杂的初等函数的导法则，求一些比较复杂的初等函数的导数，在求导过程中，进一步领会导数概数，在求导过程中，进一步领会导数概念的实质念的实质.3. 体会导数的重要价值：体会导数的重要价值：（（1）导数对人们原先难以认识的函数性质）导数对人们原先难以认识的函数性质和曲线的切线给出了通用的方法，使这和曲线的切线给出了通用的方法，使这些困难问题迎刃而解；同时导数可以帮些困难问题迎刃而解；同时导数可以帮助我们解决更多的数学问题；助我们解决更多的数学问题；（（2）导数可以解决某些现实生活中的优化）导数可以解决某些现实生活中的优化问题，增强我们解决实际问题的能力问题，增强我们解决实际问题的能力.4. 从寻求曲边梯形面积和变力作功出发，引出定从寻求曲边梯形面积和变力作功出发，引出定积分概念，由此体会定积分的真正内涵；学会积分概念，由此体会定积分的真正内涵；学会对最简单的函数求定积分（例如，对最简单的函数求定积分（例如，y=c,x,x2, 1/x）；并理解如下运算：）；并理解如下运算： 5通过计算山顶的高度和变力所做通过计算山顶的高度和变力所做的功，理解微积分基本定理，并通的功，理解微积分基本定理，并通过该定理，认识到求导数和求积分过该定理，认识到求导数和求积分互为逆运算，并会用导数公式来求互为逆运算，并会用导数公式来求定积分定积分.6 6在本章教学中，要注意让学生体会微在本章教学中，要注意让学生体会微积分学在认识论上的价值，体会任何高积分学在认识论上的价值，体会任何高深的理论都源于简单的、基本的事实；深的理论都源于简单的、基本的事实；任何复杂的事物可以化解为一个一个的任何复杂的事物可以化解为一个一个的简单问题；体会用微观认识宏观的辩证简单问题；体会用微观认识宏观的辩证方法方法. .要让学生了解微积分学在数学发展要让学生了解微积分学在数学发展中重要作用和在现实生活中的意义中重要作用和在现实生活中的意义. .二、教学要点二、教学要点—学习微积分的一学习微积分的一些关键步骤些关键步骤1. 对直角三角形对直角三角形ABC，， tanθ=b/a, 斜边斜边c的斜率的斜率 是是 k=tanθ=b/a. 某人从沿某人从沿C从从A走到走到B，高度在不，高度在不断变化，变化的快慢可用数字断变化，变化的快慢可用数字k=b/a来描述来描述.aθbABC设有线性函数设有线性函数 y=ax+b，其图像是直线，其图像是直线l，从，从A沿沿l到到B，函数，函数y=ax+b的值在不断变化，其变化快的值在不断变化，其变化快慢（仿直角三角形）可用数慢（仿直角三角形）可用数 某人沿弯曲山路从某人沿弯曲山路从A走到走到B，高度在不断变化，，高度在不断变化，其变化快慢如何用数量描述呢？当曲线其变化快慢如何用数量描述呢？当曲线AB非常非常短时，可用割线短时，可用割线AB近似地代表，即可用近似地代表，即可用(f(x1)-f(x0))/(x-x0) 近似描述此段山路高度的变化快慢近似描述此段山路高度的变化快慢.af(x1)-f(x0)x-x0函数的平均和瞬时变化率函数的平均和瞬时变化率函数函数f(x) 区间［区间［x0, x1］的平均变化率是］的平均变化率是教材中以运动员跳水为例进行了计算瞬教材中以运动员跳水为例进行了计算瞬时变化率时变化率f(x1)-f(x0)x-x0f(x1)-f(x0)x-x0l曲线切线的斜率曲线切线的斜率Δy /Δx当当Δx→0时，时，B →AΔy /Δx → k就是切线就是切线l的斜率的斜率ABlΔxΔy简单初等函数的导数简单初等函数的导数c′=0, x′=1, (x2)′=2x, (3/2 x) ′ =3/2 x1/2, (sin x)′=cos x, (cos x)′=-sinx, （（ex) ′= ex (ln x)′=1/x.两函数之和、差、积、商求导两函数之和、差、积、商求导掌握基本初等函数的求导公式是非常必掌握基本初等函数的求导公式是非常必要的，同时要记住两函数之和、之积、之要的，同时要记住两函数之和、之积、之商的求导公式商的求导公式.运用这两方面的结果，可以运用这两方面的结果，可以求出许多较为复杂函数的导数求出许多较为复杂函数的导数.两点补充两点补充（（1）要理解复合函数的求导公式）要理解复合函数的求导公式 y=f(u), u=g(x) fx′ (g(x))= fu′ gx′ (x). y=k1u, u=k2x y=k1k2x 2.直观理解sin x和cos x的 导数xOABC△△OBC< △△OAB<扇形扇形OAB1/2sin xcos x<1/2sin x<1/2xsin xcos x