高中数学 第三单元 函数的概念 图像及性质.doc

第三单元第三单元 函数概念及其图象与性质函数概念及其图象与性质基础知识思维导图基础知识思维导图基础知识思维导图基础知识思维导图基础知识记忆填空基础知识记忆填空1． 映射 （1）映射的定义 一般地，设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到 B 的映射，记作如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 对应的 B 中的.:BAf函数映射函数三要素表示 方法性质定义域 对应法则 值域单调性 奇偶性 周期性 最值列表法 图象法 解析法图象平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换反函数元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象 2.函数 (1)函数的定义 一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，那么这样的的对应叫做从 A 到 B 的一个函数.，通常记为 y=f(x)， x∈A． 其中，所有的 x 值组成的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的值域。

函数的三要素：定义域，值域，对应法则.函数的表示方法函数的表示方法 表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有: : 解析式 , , 列表法 , , 图象法 . . 函数的解析式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是 要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法函数的定义域及值域(1) 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： ①分式的分母不等于零； ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数式的真数必须大于零； ④指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. ⑤实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ⑥复合函数定义域. (2)求函数值域方法通常有配方法、换元法、判别式法、不等式法、图像法（数形结合法） 、函数的单调性法以及均值不等式法.分段函数 3.分段函数的定义;:若函数在其定义域内的不同子集上,对应法则不同(或用几个不同的式子来 表示),则称此函数为分段函数. 4.复合函数: 一般地，对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x)，且 g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集 不空,则确定了一个 y 关于 x 的函数 y=f(g(x))，这时 y 叫做 x 的复合函数，其中 u 叫做中间 变量，y=f(u) 称为外函数，u=g(x) 称为内函数. 函数的性质1、函数的单调性（1）定义：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1，x2，当 x11）为原来的 1/ω； （3）对称变换 函数 y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称（即把（x,y）换成（- x,y） ） ；函数 y=-f(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称；(即把（x,y）换成（x,- y） ）函数 y=-f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于原点对称(即把（x,y）换成（-x,- y） ） ；函数 y=f -1(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称； （4）翻折变换 Ⅰ、函数 y=|f(x)|的图象—由函数 y=f(x)的图象的轴下方部分沿轴翻折到xx 轴上方，去掉原轴下方部分，并保留 y=f(x)的轴上方部分即可得到.xxx Ⅱ、函数 y=f(|x|)的图象---由函数 y=f(x)的图象右边沿轴翻折到轴左边替代yy 原轴左边部分并保留 y=f(x)在轴右边部分即可得到.yy 思维导图例析思维导图例析1、映射与函数[解题锦囊]映射由三要素组成，集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f，集合 A、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。

对于 A 中每一个元素，在 B 中有且只有一个元素和它对应函数是特殊的映射，即两个非空数集之间的映射；函数的三要素[考题解析]例 1、设集合 M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②解析：由映射的定义，要求对于函数在定义域上都有图象，并且一个 x 对应一个 y,据此排除①④，选 C例 2、下列各组函数的图象相同的是（ ）)()(xgxf与A、 B、2)()(,)(xxgxxf22) 1()(,)(xxgxxfC、 D、 0)(, 1)(xxgxf  xxxgxxf)(|,|)()0()0(  xx分段函数分段函数[解题锦囊]对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．[考题解析]例 1、设函数 f（x）＝则 f（－4）＝____，又知 f（）＝8，则 ，＜，＋ )2(2)2(22xxxx0x＝____0x解析：(1)∵-42 时，f(x0)=2x0=8，x0=4.∴x0=- 或 x0=46例 2、设，若，则 x=____________。

22 (1) ( ) ( 12)2 (2)xx f xxxxx   ≤≤≥≥( )3f x 3函数的解析式[解题锦囊]求函数的解析式要根据题目的已知条件选择相应的方法，要抓住已知条件的特征规律确 定函数的解析式时，除了具备函数的解析式外，必要时还要在其后标注函数的定义域[考题解析]例 1、已知 f(x)为二次函数，若 f（0）=0，且 f（x+1）==f（x）+x+1，求 f（x）的表达式解析：（1）设 f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1∴，∴f(x)＝     2121112bababbaxx21 212例 2、已知 f(+1)=x+2，求 f(x)；xx解析：设 u=+11,则=u-1，x=(u-1)2,于是 f(u)=(u-1)2+2(u-1)xx=u2-1(u1),即 f(u)=u2-1(u1), 即 f(x)=x2-1(x1).例 3、已知 f(x)满足，求 f(x)；x3)x1( f)x( f2  解析：∵已知 ---①x3)x1( f)x( f2  将①中 x 换成得 --②x1 x3)x( f)x1( f2  ①×2-②得， ∴x3x6)x( f3  )0x(x1x2)x( f   函数的定义域[解题锦囊]求函数的定义域，关键是由含自变量 x 的代数式有意义，得到相应的不等式(或不等式组)[考题解析]例、求下列函数的定义域：①； ②=； ③=＋21)(xxf)(xf23 x)(xf1xx21〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式=，而没有y)(xf 指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

x解：①∵－2=0，即=2 时，分式无意义，xx21 x而≠2 时，分式有意义x21 x ∴这个函数的定义域是{|≠2}xx②∵3＋22 x1+x2-2>0 x1-x2<0      , 1∴(x1-x2)(x1+x2-2)<0 即 f(x2)-f(x1)<0∴函数 y=-x2+2x+1 在[1,+ ∞)上是减函数.函数的奇偶性与周期性 [解题锦囊] 判断函数的奇偶性首先确定函数的定义域，并判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下再判断 f(x)与 f(-x)关系如果奇偶性是讲函数图象的对称，那 么周期性就是讨论函数图象的平移，而图象的对称与函数的周期性也是密不可分的，解题解题 中要充分利用中要充分利用 f(-x)与与 f(x)的关系帮助变形的关系帮助变形[考题解析] 例 2．判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；1( )(1)1xf xxx22( )11f xxx（3）；（4）f(x)＝x3－x．22lg(1)( )|2| 2xf xx解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函101x x[ 1,1)( )f x数．(2) ，∴ ∴既是奇函数又是偶函数．2 22101110xxxx    ( )0f x ( )f x（3）由得定义域为，2210|2| 20xx  ( 1,0)(0,1)U∴，22lg(1)( )(2)2xf xx22lg(1)x x ∵ ∴为偶函数2222lg[1 () ]lg(1)()()xxfxxx   ( )f x( )f x（4）f(x)＝x3－x 的定义域为 R， 又 f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则 f(x)＝x3－x 是奇函数例 2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则地(6)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:由 f(x+2)=-f(x)知 f(x+4)= f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x) 故知函数 y=f(x)的周期为 4,∴f(6)=f(4+2)=f(2)=-f(0). ∵f(x)是 R 上的奇函数,易知 f(0)=0, ∵f(6)=-f(0)=0,选 B. 函数图象 [解题锦囊] 在解决函数图象的问题时，要根据函数的解析式研究其的性质（如：单调性，奇偶性，周 期性） ，从而判断出其函数图象。

在做识图题时，可以利用“特殊值法”进行排除，从而解 决问题 [考题解析] 作图、识图作图、识图例例 1 1、、（陕西） 函数的图像是 （ ） 31 xy  【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．取，则，选项 B，D 符合；取 x=1，则 y=1，选项 B 符合81,81x  21,21y  题意．例 2、下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数图象只可能是（ ）x aby)(解析：因为从四个图像上，都是单调减函数，说明x aby)(1ab0  二次函数 y=ax²+bx=x(ax+b)此函数与 x 轴交点为 x1=0, abx2  由于,则1ab0  1ab0    即 x2必须在区间(-1，0)内而 B,C,D 图不符合要求，排除故选 A.答案:A图象变换图象变换1． （02 全国）函数 y=1－的图象是 （ 1-1 x）解析：方法一(图象变换法) --------关于 X 轴对称-----------向右平移 1 个单x1y  x1y  位 ----------------向上平移 1 个单位，故选 B。

1x1y   1x11y   方法二（特殊值法）：取点（0,2）排除 A,D，取点（2,0）排除 C, 故选 B答案 B例例 2 2、已。