广义积分初步.ppt

第四节 广义积分初步定积分存在的两个必要条件:(1)积分区间有限积分区间无限被积函数有界积分区间有限但被积函数无界广义积分(无穷积分)(瑕积分)(2)被积函数有界一.无穷积分一.无穷积分1.定义设在上连续,取存在,如果极限则称此极限值为函数在上的无穷积分 .记作:此时也称无穷积分收敛,否则称无穷积分发散.即注 (1)无穷积分的几何意义: 当时表示由曲线与直线和 轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积.(2)的敛散性与无关.2.定义设在上连续,取存在,如果极限则称此极限值为函数在上的无穷积分 .记作:此时也称无穷积分收敛,否则称无穷积分发散.即3.定义 设在上连续,同时收敛,如果则称它们的和为函数在上的无穷积分 .记作:此时也称无穷积分收敛,否则称无穷积分发散.和(某个实数 )为某个实数 ,即例1.讨论广义积分的敛散性.解即广义积分收敛,值为例2.讨论广义积分的敛散性.解故广义积分时收敛,时发散.例3.讨论广义积分的敛散性.解而即发散， 故发散.例 已知求常数的值(1993年考研真题8分 )解由得二.瑕积分二.瑕积分1.定义设在上连续,且存在,如果极限则称此极限值为函数在上的瑕积分. 记作:此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分发散.即2.定义设在上连续,且存在,如果极限则称此极限值为函数在上的瑕积分. 记作:此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分发散.即3.定义设在上连续,并且如果同时收敛,则称它们的和为函数在上的瑕积分. 记作:此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散.和即例4.讨论广义积分的敛散性.解因故是瑕点即广义积分收敛,值为例5.讨论广义积分的敛散性.解因故是瑕点故广义积分时收敛,时发散.例6.讨论广义积分的敛散性.解因而发散,故发散例7.判定的敛散性.解因故是瑕点即瑕积分发散 .瑕积分时收敛,时发散.无穷积分时收敛,时发散.总结三.函数定义 广义积分是的函数,称为函数.性质1函数是收敛的.性质2证性质3证性质4性质5证性质6其中例7 求解例8 求解四.函数定义 广义积分是的函数,称为函数.和记作性质1收敛.性质2 证性质3例9 计算解例10 求解 令则。