[经济学]第二章人身保险的数理基础.ppt

人 身 保 险第二章人身保险的数理基础第二章人身保险的数理基础l2.1寿险精算概论l2.2利息理论l2.3生命表和生命函数l2.4生存年金l2.5人寿保险保费的确定l2.6健康和人身意外伤害保险保费的确定l2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l2.1.2寿险精算的起源寿险精算的起源l2.1.3寿险精算的内容寿险精算的内容l2.1.4寿险精算的意义寿险精算的意义l2.1.5寿险精算的基础寿险精算的基础2.1寿险精算概论寿险精算概论2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l保险精算的概念保险精算的概念l保保险险精精算算就就是是运运用用数数学学、、统统计计学学、、金金融融学学、、保保险险学学及及人人口口学学等等学学科科的的知知识识和和原原理理,对对保保险险业业经经营营管管理理中中的的各各个个环环节节进进行行数数量量分分析析,为为保保险险业业提提高高管管理理水水平平、、制制定定策策略略和和做做出出决决策策提提供供科科学学依依据据和和工工具具的的一门学科一门学科l保险精算：保险精算：寿险精算寿险精算和和非寿险精算非寿险精算一个案例一个案例2000年年初初成成立立了了XYZ人人寿寿保保险险公公司司，，注注册册资资本本为为20亿亿元元。

假假设设该该公公司司出出售售一一种种两两全全保保单单 “一一生生如如意意”，，该该保保单单是是这这样样设计的：设计的：保保险险金金额额为为10万万元元，，当当被被保保险险人人在在60岁岁前死亡时或活到前死亡时或活到60岁时支付岁时支付问题问题l问题一：该保单应该如何定价 ？l问题二：在资产负债表上，如何确定该保单相应的负债？l问题三：被保险人如果退保，该返还其多少？l问题四：如果该产品是分红保单，如何确定红利的分配原则？l问题五: 如何对该保单的利润进行敏感性分析？l问题六：保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理？l问题七：怎样才能确保该公司的偿付能力？l问题八: 如何确定该公司的价值？寿险精算的概念寿险精算的概念l概念:是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上,考虑资金投资回报率及其变动,根据保险种类.保险金额.保险期限.保险金给付方式.保险费缴纳方式及保险人对经营费用等的估计等,对投保人需缴纳的保险费水平.保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其他方面等进行的科学精确的计算.l1693年，英国天文学家、数学家爱德华.哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率。

l18世纪，托马斯.辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表后来，詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表l1724年，法国数学家亚伯拉罕.德.莫伊维提出了死亡法则寿险精算的起源寿险精算的内容寿险精算的内容l人身保险按投保人数的不同，可分为l一元生命人身保险l复合生命人身保险l随机事件与概率l大数定律及其在保险中的应用2.1.5寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础l随机事件与概率l随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.l概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就表示某种事件出现的可能性就大.0≤P(A) ≤ 1寿险精算的基础寿险精算的基础l大数定律及其在保险中的应用l大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出的估计损失概精算师的职业排名精算师的职业排名 The Best and Worst Jobs(2008)The BestThe Worst1. Mathematician 200. Lumberjack2. Actuary 199. Dairy Farmer3. Statistician 198. Taxi Driver4. Biologist 197. Seaman5. Software Engineer 196. EMT6. Computer Systems Analyst 195. Roofer 7. Historian 194. Garbage Collector8. Sociologist 193. Welder9. Industrial Designer 192. Roustabout10. Accountant 191. Ironworker11. Economist 190. Construction Worker12. Philosopher 189. Mail Carrier13. Physicist 188. Sheet Metal Worker14. Parole Officer 187. Auto Mechanic15. Meteorologist 186. Butcher16. Medical Laboratory Technician 185. Nuclear Decontamination Tech17. Paralegal Assistant 184. Nurse (LN)18. Computer Programmer 183. Painter19. Motion Picture Editor 182. Child Care Worker20. Astronomer 181. Firefighter什么是精算学和精算师什么是精算学和精算师 ?l精算学是指综合运用数学、统计学和金融理论研究经济市场，特别是其中涉及保险、养老金计划中的随机现象的一门学科 ;l精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。

l精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门保险精算的发展和现状保险精算的发展和现状 l精算职业范围的发展l精算职业团体的发展l精算学作为一门学科的发展专门职业和精算师专门职业和精算师l它的基本目的是为公众及公众利益提供服务；l它为成员个人提供支持，并提高成员集体的社会地位；l它是一个学习性的社团，鼓励研究，促进成员之间的交流；l它的成员具有专业技能；l对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员，它经常以签名证书的形式给予资格证明；l它通过提供后续职业教育，帮助并要求成员保持职业技能；l它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准；l它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准 精算职业的目标精算职业的目标l正确和实用的理论；l高尚的道德标准和服务客户、雇主或其他公共利益的意愿；l精算师在为公共利益提供服务中的角色，比如保险公司的指定精算师；l组织形成具有凝聚力的自我管理团体；l愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献；l保持资质标准，提高职业声誉保险精算的发展和现状保险精算的发展和现状l从传统产品到非传统产品l从寿险到非寿险、养老金、财务和投资l从保险公司到咨询机构、政府部门l从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准精算在我国的发展精算在我国的发展 l精算职业团体在我国的发展l精算教育在我国的发展l精算师资格考试 如何才能成为合格的精算师如何才能成为合格的精算师 l第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表，一般只要在大学取得相应的学位后，在实务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师； l第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。

l我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格 精算师应该具有的三项基本素质精算师应该具有的三项基本素质 l职职业业道道德德：其基本原则有：精算师应该为公众利益服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精算职业组织的惩罚l专专业业素素质质：精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一l沟通能力沟通能力：精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题，也必须懂得如何向包括政府监管部门、公司管理层和股东、投保人和其他相关公众交流自己的研究结果 保险精算的主要内容保险精算的主要内容 l寿险精算寿险精算l利息理论利息理论l生命表理论生命表理论l寿险精算数学寿险精算数学l非寿险精算非寿险精算l非寿险精算数学非寿险精算数学l养老金精算和其它精算理论养老金精算和其它精算理论l投资和财务理论投资和财务理论l2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l2.2.2利息力利息力l2.2.3利率、贴现率及息力之间的关系利率、贴现率及息力之间的关系l2.2.4现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l2.2.5确定年金确定年金2.2利息理论利息理论l是是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬。

贷款人的报酬l从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值间的投资后产生的价值增值l利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失受的损失l理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定是资本或货币是资本或货币l实际中，利息多用货币资本表示实际中，利息多用货币资本表示利息的基本概念利息的基本概念利息利息=得到的得到的-付出的付出的基本概念：基本概念：n本金本金：每项业务开始时投资的金额称为本金；：每项业务开始时投资的金额称为本金；n终终值值：：业业务务开开始始一一定定时时期期后后回回收收到到的的总总金金额额称称为为该时刻的积累值（或该时刻的积累值（或积累值积累值）；）；n利息利息=终值终值-本金（或本金（或积累值积累值-本金本金）；）；ü暂暂时时假假定定，，在在投投资资期期间间不不再再加加入入或或抽抽回回本本金金，，以以后将放松这一假设后将放松这一假设ü时时间间单单位位-- “度度量量期期”或或“期期”除除非非特特别别声声明明，，一个度量期就是一年。

一个度量期就是一年2.2.1利息概述及度量利息概述及度量利息的度量利息的度量l终值函数终值函数1l终值函数终值函数2l第第N期利息期利息单单位位货货币币的的终终值值函函数数，，期期初初投投资资的的1元元本本金金在在时时刻刻t时时所所得得到到的的总总价价，，是度量利息和利率最基本的工具是度量利息和利率最基本的工具K个货币单位的终值函数个货币单位的终值函数n终值函数终值函数a(t)üA(t)= A(0)+I(t)üa(t) = A(t)/ A(0)üA(t)= K×a(t) üA(0)= Ka(t),有有时时也也称称为为t期期积积累累因因子子，，累累积积函数函数简称简称a(1)为为积累因子积累因子l终值函数l金额函数l贴现函数l第N期利息1------------------------------K------------------------------ ----------------------------10t=n终值函数终值函数a(t)üA(t)= A(0)+I(t)üa(t) = A(t)/ A(0)üA(t)= K×a(t) üA(0)= K性质性质: :（（1 1））初始值，本金初始值，本金（（2 2））（（3 3））若若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；否则为非连续涵数否则为非连续涵数（（4 4））累累积积涵涵数数必必然然通通过过（（0，，1））和和（（1，，1+i））两两点点 四种常见终值函数的图形四种常见终值函数的图形贴贴现现函函数数a-1(t)：：也也叫叫为为t期期贴贴现现因因子子。

a-1(1)简称为简称为贴现因子贴现因子，并简记为，并简记为v;为了在为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）称为该积累值的现值（或折现值）l现值函数现值函数一个货币单位的终值在期初的价值，一个货币单位的终值在期初的价值，也称贴现函数也称贴现函数n现值函数现值函数a-1(t)üA-1(t)=K. a-1(t) l终值函数l金额函数l贴现函数l第N期利息1------------------------------K------------------------------ ----------------------------10t=例题例题2.1：假设终值函数：假设终值函数如果期初的如果期初的100元在第三年末可以累元在第三年末可以累积到积到172元，试计算在第五年末可以元，试计算在第五年末可以累积到多少元累积到多少元?例题：例题：1、例题例题2.2如果如果A（（t））=t2+2t+3，，试确定对应的终值函数试确定对应的终值函数a(t)，，并验证并验证a(t)是否满足三个基本性质是否满足三个基本性质满足三个基本性质满足三个基本性质2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l2.利息的定义利息的定义:l资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬，即使用资本的代价。

种报酬，即使用资本的代价影响利息大小的三要素影响利息大小的三要素n本金本金n利率利率n时期长度时期长度利率=利息/本金利率的本质利率的本质 ：反映资金增长速度：反映资金增长速度l3.利息计算的方法l3.利息计算的方法l线形积累l单利l指数积累l复利l实实际际利利率率：：是是指指在在某某一一时时期期开开始始时时，，投投资资一一单单位位本本金金时时，，在在此此时时期期内内应应获获之之利利息息实实际际利利率率是是在在期末支付且整个时期内只支付一次利息用期末支付且整个时期内只支付一次利息用i表示表示如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率 l3.利息计算的方法例例2.3 l某人以某人以1万元本金进行万元本金进行5年投资，前年投资，前2年的利率年的利率为为5％，后％，后3年的利率为年的利率为6％，分别以单利和复％，分别以单利和复利计算利计算5年后的累计积累值年后的累计积累值答案答案 单利（单利（simple interest））一、含义：1、每期只对本金计算利率 2、每期的利息为常数 3、利息总量与时期数线性正相关二、单利的累积涵数：单利具有线性累积涵数三、单利累积涵数的特点：三、单利累积涵数的特点：利息利息= =本金本金× ×利率利率× ×时期数时期数实际利率是时间的减涵数实际利率是时间的减涵数例题例题2.4 如果如果 ，试计算，试计算i5复利（复利（compound interest））一、复利的含义：一、复利的含义：1、每期都对本金和上期的利息计算利息、每期都对本金和上期的利息计算利息2、每期的利息是变数、每期的利息是变数二、复利的累积涵数二、复利的累积涵数三、特点：三、特点：例题例题2.5复利的实际利率复利的实际利率就等于复利率就等于复利率单利与复利的区别单利与复利的区别相同点：相同点：1、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2、原始投资利率在整个投资期间不变。

原始投资利率在整个投资期间不变区别：区别：1、、单单利利的的实实际际利利率率是是时时间间的的减减涵涵数数，，复复利利的的实实际际利利率率是是一一常常数数2、、在在时时刻刻0和和时时刻刻1时时，，单单利利和和复复利利的的累累积积值值相相等等，，该该期期间间内内产生的利息相等产生的利息相等3、、单单利利在在相相等等的的期期间间内内有有相相等等的的利利息息额额，，复复利利在在相相等等的的期期间间内有相等的利息增长率内有相等的利息增长率4、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化5、、复复利利几几乎乎用用于于所所有有的的金金融融业业务务，，单单利利只只用用于于短短期期计计算算或或复复利的不足期近似计算利的不足期近似计算单复利计息之间的相关关系单复利计息之间的相关关系l单单利利的的实实质质利利率率逐逐期期递递减减，，复复利利的的实实质质利利率率保保持持恒定l 时时，，相相同同单单复复利利场场合合，，单单利利计计息息比比复复利利计计息息产产生生更更大大的的积积累累值值所所以以短短期期业业务务一一般般单单利利计计息l 时时，，相相同同单单复复利利场场合合，，复复利利计计息息比比单单利利计计息息产产生生更更大大的的积积累累值值。

所所以以长长期期业业务务一一般般复复利利计计息单单/复利场合积累函数示图复利场合积累函数示图单利与复利的比较单利与复利的比较l例、以年利率5%为例，比较单利和复利计算方法的异同效果解：1）单利情况下，每年的实际利率水平n123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年内，实际利率水平降低了一个百分点年内，实际利率水平降低了一个百分点2）复利的实际利率等于复利率3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻n123456单利1.051.101.151.21.251.3复利1.051.10251.15761.21551.27631.3401复利超过单利的%00.2270.6631.292.13.1可可见见，，经经过过6年年的的时时间间，，复复利利方方式式比比相相同同单单利利方方式式的的累累积值超过了积值超过了3%2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l4.利息的度量l实际利率实际利率:il名义利率名义利率:i(m)l名义利率和实际利率的相互转化名义利率和实际利率的相互转化li=[1+i(m)/m]m-1l名义贴现率和实际贴现率名义贴现率和实际贴现率lD=1-[1- d(m) /m]m利息转换频率不同利息转换频率不同l实质利率实质利率 ：以一年为一个利息转换期，该利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率记为实质利率l名义利率名义利率 ：在一年里有：在一年里有m个利息转换期，假如个利息转换期，假如每一期的利率为每一期的利率为j，，有有 。

l利息力利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬的瞬间利率叫作利息力间利率叫作利息力l实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似利率类似名义利率与实际利率转化名义利率与实际利率转化l 名义利率11实际利率与名义利率关系实际利率与名义利率关系名义利率名义利率：：（（1）一个度量周期内结转）一个度量周期内结转m次利息的利率次利息的利率（（2）度量的是资本在一个小区间）度量的是资本在一个小区间 内的实际利率内的实际利率（（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系 名义利率与实际利率的关系名义利率与实际利率的关系：：在在年年名名义义利利率率一一定定的的条条件件下下，，m越越大大，，年年实实际利率越大际利率越大休息休息名义贴现率名义贴现率l 名义贴现率11名义贴现率名义贴现率名义贴现率：（1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率（2）度量的是一个小区间 内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系：休息休息在在在在年年年年名名名名义义义义贴贴贴贴现现现现率率率率一一一一定定定定的的的的条条条条件件件件下下下下，，，，一一一一年年年年内内内内结结结结转转转转的的的的贴贴贴贴现现现现次次次次数数数数越越越越多多多多，，，，年年年年实际贴现率越小。

实际贴现率越小实际贴现率越小实际贴现率越小贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l贴贴现现函函数数：：贴贴现现是是累累积积的的逆逆运运算算，，是是计计算算现现在在值值，，贴贴现现函函数数是是累累积积函函数数的的倒倒数数，，贴贴现现与与累累积积是是两两种种互互相相对对称的计算货币时间价值的方法称的计算货币时间价值的方法l时时刻刻t的的一一个个单单位位货货币币在在时时刻刻0的的价价值值称称为为贴贴现现函函数数（（discount function））单利的贴现涵数：单利的贴现涵数：复利的贴现涵数：复利的贴现涵数：称称v v为贴现因子为贴现因子贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l实际贴现率：实际贴现率：一个计息期内的利息收入与期末货币一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值其中的利息是在期末实现的量的比值其中的利息是在期末实现的注意：注意：1、、d＜＜i 2、、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等 3、利息在期末支付，贴现在期初收取、利息在期末支付，贴现在期初收取 4、利率说明了资本在期末获得利息的能力，、利率说明了资本在期末获得利息的能力， 贴现率说明了资本在期初获得利息的能力贴现率说明了资本在期初获得利息的能力单利的实际贴现率单利的实际贴现率单利的实际贴现率dt例、例、i=10%i=10%，单利，试计算，单利，试计算d d5 5实际利率与实际贴现率的关系实际利率与实际贴现率的关系1、2 23 3、贴现函数：、贴现函数：4 4、累积函数：、累积函数：5 5、、这这一一关关系系的的字字面面意意义义是是：：借借贷贷1元元，，在在期期末末还还1+i，，等等价价于于期期初初借借1-d，，在期末还在期末还1元。

元单贴现单贴现1、单贴现：与单利相对应，每一时刻的贴现额相等，贴现涵数为：2 2、单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质、单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质3 3、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的 实际贴现率递增实际贴现率递增复贴现复贴现复贴现：每一时刻产生的贴现值不相等，贴现函数为： 单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同对较长的时期，单贴现比复贴现单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同对较长的时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反例题例题2.6l已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求投资本金解：设本金为p，则pi=336，pd=300 例例2.71、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率1、2、3、例题例题如何用贴现率比较收益？现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元，一年期储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度看，债券的贴现率为：储蓄的贴现率为：储蓄的贴现率为：从年利率的角度看：债券的从年利率的角度看：债券的而储蓄的年利率为而储蓄的年利率为5.25%5.25%，，因此，债券投资略优于储蓄因此，债券投资略优于储蓄2.2.2利息力利息力l利息力利息力又简称息力,是衡量在某个确切点上利率水平的指标.用&表示 a(t)=e∫&t.dt a-1(t)=e-1∫ &t.dt利息力（利息强度）利息力（利息强度）利息力： （要求累积函数必须是连续的，且可微，既是每个瞬间都可以进行利息的换算）（1）度量了资本在无穷小区间上的获利能力。

2）刻画了资本在每一时刻上的获利强度3）是累积函数的相对变化率（4）是连续结转利息时的名义利率是连续结转利息时的名义利率（5）累积函数由累积函数由利息力和时利息力和时间长度唯一间长度唯一确定确定利息力利息力l定义：瞬间时刻利率强度等价公式等价公式l一般公式l恒定利息效力场合例例2.8l确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、例例2.8答案答案利息力（利息强度）利息力（利息强度）例题3：如果 ，确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额解：常数利息力常数利息力（1）资本在任一时点上的获利强度都相等，记为（2）利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必常常数数利利息息力力和和实实际际利利率率的关系式的关系式例题：已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度解：例题：一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经过8年的累计值解：单利和复利的利息力单利和复利的利息力单利的累积函数：a(t)=1+it，复利为a(t)=(1+i)t单利的利息力：单利的利息力：是时间的是时间的减函数减函数复利的利息力：复利的利息力：与时间与时间无关无关贴现力（贴现效力）贴现力（贴现效力）（1）贴现函数的单位变化率（2）度量每一时刻上获得贴现值的能力，记为：利息力与贴现力是等价的利息力与贴现力是等价的l关系2.2.3利率、贴现率及息力之间的利率、贴现率及息力之间的关系关系名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系（相同计息期内的）（相同计息期内的）实际利率与实际贴现率之间的关系是：当当李李名义利率与名义贴现率之间的关系为：名义利率与名义贴现率之间的关系为：实际利率与名义贴现率之间的关系：实际利率与名义贴现率之间的关系：名义利率与实际贴现率之间的关系：名义利率与实际贴现率之间的关系：例题例题2.91、初始投资500元，每季度结转一次利息的年利率为8%，5年后的累积值是多少？2 2、、年利率年利率6%6%，每半年结转一次，到第，每半年结转一次，到第6 6年末时可得年末时可得10001000元，现时投资要多少？元，现时投资要多少？例题例题3、已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。

解：例题例题4、以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值解：设现值为PV，则例题例题5、一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走，试确定：1）购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2）购买者所得到的年度年度实质利率解：解：1 1）季度贴现额）季度贴现额=100-96=4=100-96=4元，季度贴现率元，季度贴现率年名义贴现率年名义贴现率=4×4%=16%=4×4%=16%2 2）季度实际利率：）季度实际利率：利率和贴现率利率和贴现率l期末计息——利率l第N期实质利率l期初计息——贴现率l第N期实质贴现率单利场合利率与贴现率的关系单利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系初始值利息积累值11l某人投资1万元，如果以5％的利率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？l如果该投资项目是以5％的贴现率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？l已知利息率，求a(t)l已知利息率，求a-1(t)l已知贴现率，求a(t)l已知贴现率，求a-1(t)l已知息力。

求a(t)或a-1(t)2.2.4现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l已知利息率，求a(t).设本金为了,经过t后的终值l(1)在单利的条件下: a(t)=1+itl(2) 在复利的条件下:a(t)=(1+i)tl(3) 在实际利率的条件下:a(t)=(1+i1)(1+i2) …(1+it)l(4) 在名义利率的条件下:a(t)=[1+i(m)/m]mtl已知利息率，求a-1(t).设时期t的终值为1l(1)在单利的条件下: a-1(t)=(1+it)-1l(2) 在复利的条件下: a-1(t)=(1+i)-tl(3) 在实际利率的条件下: a-1(t)=(1+i1)-1(1+i2)-1… (1+it)-1l(4) 在名义利率的条件下: a-1(t)=(1+i(m)/m)-mtl已知贴现率，求a(t).l(1)在单贴现率的条件下: a(t)=(1-dt)-1 (0≦t﹤1/d)l(2)在复贴现率的条件下: a(t)=(1-d)-tl(3)在实际贴现率的条件下: a(t)=(1-d1)-1(1-d2)-1… (1-dt)-1l(4)在名义贴现率的条件下: a(t)=(1-d(m)/m)-mtl已知贴现率，求a-1(t)l(1)在单贴现率的条件下: a-1(t)=1-dtl(2)在复贴现率的条件下: a-1(t)=(1-d)tl(3)在实际贴现率的条件下: a-1(t)=(1-d1)(1-d2)(1-dt)l(4)在名义贴现率的条件下: a-1(t)=(1-d(m)/m)mt利息问题求解利息问题求解l利息问题求解四要素l原始投资本金l投资时期长度l利率及计息方式l期初/期末计息：利率/贴现率l积累方式：单利计息、复利计息l利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力l本金在投资期末的积累值 利息问题求解原则利息问题求解原则l本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题l工具：现金流图l方法：建立现金流分析方程（求值方程）l原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。

0现金流时间坐标例例2.10：求本金：求本金l某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？答案答案l以第7年末为时间参照点，有l以第8年末为时间参照点，有l请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点例例2.11：求利率：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？答案答案（1）（2）例例2.12：求时间：求时间l假定 分别为12%、6%、2%l计算在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？答案答案 近似答案近似答案——rule of 72例例2.13：求积累值：求积累值 l某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？答案答案 l年年金金：：在在一一定定时时期期内内在在相相等等的的时时间间间间隔隔上上所所作作的的一系列给付。

一系列给付l并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔l每每次次的的给给付付额额可可以以是是固固定定量量，，也也可可以以是是非非固固定定量量2.2.5确定年金确定年金年年金金(annuity)：：间间隔隔相相等等的的一一系系列列收收付付款款或或间间隔隔相相等等的的一一系系列列资资金金流流 如如，，房房屋屋的的租租金金、、抵抵押押贷贷款款、、分分期期付付款款、、利利息息付付款款、、保保险险费费的的缴缴纳纳、、保保险险费费的的领领取取及及养养老老金金、、手机和和电话的的月租费、公用事业费等月租费、公用事业费等是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用l分类分类l基本年金基本年金（比如（比如等额年金：间隔周期相等的等等额年金：间隔周期相等的等额资金流）额资金流）l等时间间隔付款等时间间隔付款l付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致l每次付款金额恒定每次付款金额恒定l一般年金一般年金l不满足基本年金三个约束条件的年金即为一不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金般年金年金的种类年金的种类1、确定年金和风险年金：、确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2、定期年金和永续年金：、定期年金和永续年金：定定期期年年金金的的支支付付期期限限是是有有限限期期间间，，有有固固定定的的到到期期日日。

付息债券的息票付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的，没有到期日股息永续年金的支付期限是无限的，没有到期日股息休息休息3、期初付年金和期末付年金：、期初付年金和期末付年金：期期初初付付年年金金的的支支付付是是在在每每个个周周期期的的期期初初月月初初发发工工资和养老金资和养老金期期末末付付年年金金的的支支付付是是在在每每个个周周期期的的期期末末月月末末发发工工资和养老金资和养老金4、即期年金和延期年金：、即期年金和延期年金：即即期期年年金金是是指指当当期期开开始始支支付付，，延延期期年年金金是是指指一一定定时时期后开始支付期后开始支付5、等额年金和变额年金：、等额年金和变额年金：等等额额年年金金的的每每期期支支付付额额相相等等，，变变额额年年金金的的每每次次支支付付额不全相等额不全相等l确确定定年年金金：：年年金金的的一一种种形形式式，，只只要要事事先先约约定定，，就就必定支付的年金必定支付的年金 l仅与利率有关，而与人的生死无关仅与利率有关，而与人的生死无关l分类：分类：付付 款款 时时 刻刻 不不 同同 ：： 期期 初初 付付 年年 金金 、、 期期 末末 付付 年年 金金 、、 即期年金、延期年金即期年金、延期年金付款期限不同：有限年金付款期限不同：有限年金/永久年金永久年金年金支付期等于利息结算期的确定年年金支付期等于利息结算期的确定年金金l期末付年金 an-∣i=V+V2+…+Vn=(1-Vn)/I Sn-∣=1+(1+i) +…+(1+i)n-1=l期初付年金l期末付年金和期初付年金的关系年金支付期大于利息结算期的确定年年金支付期大于利息结算期的确定年金金l期末付年金l期初付年金年金支付期小于利息结算期的确定年金年金支付期小于利息结算期的确定年金l期末付年金l期初付年金年金的现值年金的现值年金现值：年金在期初的价值年金现值：年金在期初的价值1、期末付定期年金的现值：单位资金的收付、期末付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-1n n1 11 11 11 1…example1,Find the present value of an annuity which pays $500 at the end of each half-year for 20 years ,if the rate of interest is 9% convertible semiannually. example2,If a person invests $1000 at 8% per annum convertible quarterly ,how much can he withdraw at the end of quarter to use up the fund exactly at the end of 10 years?年金的现值年金的现值2、预付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-1n n1 11 11 1…休息休息1 11 1年金现值的关系：年金现值的关系：年金的现值年金的现值3、期末付永续年金的现值：4 4、期初付永续年金的现值：、期初付永续年金的现值：休息休息年金的终值年金的终值年年金金终终值值：：年年金金在在支支付付结结束束时时的的累累积积值值，，永永续续年年金没有终值金没有终值1、期末付定期年金终值：单位资金的收付、期末付定期年金终值：单位资金的收付0 01 12 2n-2n-2n-1n-1n n时期时期年金年金1 11 11 11 11 1（（1+i1+i) )休息休息年金的终值年金的终值2、期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值0 01 12 2n-2n-2n-1n-1n n时期时期年金年金1 11 11 1（（1+i1+i) )1 1期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系1、2 2、、例题例题2.141、一位投资者希望投资一笔年金，到第、一位投资者希望投资一笔年金，到第12年之末积年之末积累到累到1000元。

为此他打算每年年底存入一笔钱，最元为此他打算每年年底存入一笔钱，最后一次存款将在投资时期结束前一年如果此基金后一次存款将在投资时期结束前一年如果此基金的实质利率为的实质利率为7%，问他每年应存入多少钱？，问他每年应存入多少钱？解：视为期初付款，建立求值方程；解：视为期初付款，建立求值方程；课堂练习题课堂练习题有一笔1000元的贷款，为期10年若实际利率为年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量：1）第10年末，本金利息一次还清2）每年支付利息，本金第10年末归还3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清解：2 2）每年的利息）每年的利息=1000×0.09=90=1000×0.09=90，所以支付的利息总量为，所以支付的利息总量为90×10=90090×10=900元元3 3）设相等的付款为）设相等的付款为R,R,为为 何何 第第 三三种种 方方 式式 的的利息较小利息较小例题例题2.151、某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月初需要存入多少钱，才能达到其要求？解：依具题意；设每月初的存款额为D，有年金现值与终值的关系年金现值与终值的关系1、年金现值与终值之间的换算关系：（1）期末付定期年金的终值与其现值的关系（（2 2））期初付定期年金的终值与其现值的关系2 2、年金现值与终值之间的倒数关系、年金现值与终值之间的倒数关系（（1 1）期末付定期年金：）期末付定期年金：（（2 2）期初付定期年金）期初付定期年金年金在任意时点上的值年金在任意时点上的值1、年金在支付期限开始前任意时点上的值2、年金在支付期限内任意时点上的值3、年金在支付期限结束后任意时点上的值假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。

假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期年金在支付期限开始前任意时点（年金在支付期限开始前任意时点（m））上的值上的值（现值）（现值）1、、期期末末付付定定期期年年金金：：1））将将现现值值往往前前贴贴现现，，2））计计算算总总的现值，再减去前的现值，再减去前m个时期的现值个时期的现值2 2、、、、期期期期初初初初付付付付定定定定期期期期年年年年金金金金：：：：1））将将现现值值往往前前贴贴现现，，2））计计算总的现值，再减去前算总的现值，再减去前m个时期的现值个时期的现值3 3、、、、期期期期末末末末付付付付永永永永续续续续年年年年金金金金：：：：通通通通过过过过求求求求极极极极限限限限的的的的方方方方式式式式计计计计算算算算，，，，前前前前mm个时期的现值为：个时期的现值为：个时期的现值为：个时期的现值为：当当mm为非整数时，上述结论同样成立为非整数时，上述结论同样成立年金在支付期内任意时点上的值年金在支付期内任意时点上的值计算原则：计算原则：将将年年金金分分成成两两个个期期限限较较短短的的年年金金，，年年金金在在任任意意时时点点上上的的值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值。

值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值一一般般而而言言，，一一项项经经过过m次次付付款款（（m﹤n））的的n个个时时期期年年金金，，其当前值为：其当前值为：对期初付年金而言：对期初付年金而言：年金在支付期结束后任意时点上的值年金在支付期结束后任意时点上的值计算原则：计算原则：先计算年金的终值，再按复利往后累计，计先计算年金的终值，再按复利往后累计，计算出累计值即可算出累计值即可1）期末付年金：2 2）期初付年金：）期初付年金：例题例题2.16A留下一笔100000元的遗产，这笔遗产头十年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D，若此项财产的年实际利率为7%，试确定B、C、D在此项财产中各得多少份额？B B所占的份额为：所占的份额为：C C所占的份额为：所占的份额为：D D所占的份额为：所占的份额为：练习题练习题1、某家庭从子女出生时开始积累大学教育费用5万元，如果他们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X，年利率7%，计算X.（651.72）2、价值10000元的新车，购买者计划分期付款：每月底还款250元，期限4年，月结算年利率18%，计算首次付款金额。

1489.36）3、已知a7=5135， a11 =7036，a18=9180，计算i (8.3%)4、从1990年6月7日开始，每季度年金100元，直到2001年12月7日，季度结算的年利率为6%计算：1）该年金在1989年9月7日的现值2）该年金在2002年6月7日的终值3256.88，6959.37）年金的利率问题求解年金的利率问题求解任何一个年金问题都包含四个变量：1）现值或终值 (a,s)2）收付额(R)3）利率( i)4）支付期数(n)计算其中的未知利率:1）建立求值方程 2）求解未知的利率可以用：1）解析法，2）线性插值法；3）迭代法基本年金图示基本年金图示 0 1 2 3 ------- n n+1 n+2--- 1 1 1 ---- 1 0 0--- 1 1 1 ---- 1 0 0 0--- 1 1 1 ---- 1 1 1---- 1 1 1 ---- 1 1 1---- 延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金公式推导基本年金公式推导例例2.17l有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？l利息理论在人身保险定价中的运用利息理论在人身保险定价中的运用 l保险人应在其所收入的保险费中设立责任准备金用于其在以后要承担的给付保险金的责任。

责任准备金在履行给付之前，保险公司可以利用它进行投资，其收益由保险公司在计算保险费率时，按照一定的收益率计算给被保险人人寿保险期限越长，利息的作用就显得越为重要，对保险费率的影响也就越大l l一般情况下存在两种常见的计算利息的方式，即单利和复利通常的情况下，保险公司在厘定保险费率和进行保险投资是考虑的都是复利 保险金额的确定l财财产产保保险险合合同同的的保保险险金金额额的的确确定定有有客客观观依依据据，，即即：：实际值、保险利益等实际值、保险利益等l人人寿寿保保险险合合同同的的保保险险金金额额是是由由合合同同当当事事人人双双方方协协议议产生l确确定定人人寿寿保保险险合合同同的的保保险险金金额额时时，，应应考考虑虑投投保保人人的的交费能力和被保险人对保险保障的需求两个因素交费能力和被保险人对保险保障的需求两个因素l关于交费能力：关于交费能力：l 1．限制交费年期．限制交费年期l 2．限制交费比例．限制交费比例l 3．．规规定定保保险险金金额额不不得得超超过过被被保保险险人人年年收收入入的的若若干倍干倍l …………l关于被保险人对保险保障需求的分析：关于被保险人对保险保障需求的分析：l 1．本人需求：．本人需求：l 2．他人需求：．他人需求：l 考虑上述两点，就可以粗略确定被保险人的考虑上述两点，就可以粗略确定被保险人的保险金额了。

保险金额了l 此外，保险人从控制个别巨额风险考虑，通此外，保险人从控制个别巨额风险考虑，通常还规定每个被保险人所能投保的最高限额常还规定每个被保险人所能投保的最高限额l关于人寿保险合同的保险金额确定方法人们进关于人寿保险合同的保险金额确定方法人们进行了广泛的研究，这里介绍两种具有代表性的行了广泛的研究，这里介绍两种具有代表性的方法：方法： l1．．“生命价值生命价值”理论（理论（The Concept of Human Life value）） l 2．．“人身保险设计人身保险设计”法（法（The Method of Personal Insurance Programming））l1．．“生命价值生命价值”理论（理论（The Concept of Human Life value）） l 该理论是美国宾夕法尼亚大学休布纳该理论是美国宾夕法尼亚大学休布纳（（S.S.Huebner）教授在）教授在1924年首次提出的年首次提出的l 该理论认为：人的生命价值由其工资收入扣该理论认为：人的生命价值由其工资收入扣除个人生活费用之后剩余部分的资本化价值来除个人生活费用之后剩余部分的资本化价值来决定。

生命价值就是应该投保的保险金额生命价值就是应该投保的保险金额l假如某人现年假如某人现年35岁，已婚，每年能为家庭提供岁，已婚，每年能为家庭提供10 000元的净收入，直到元的净收入，直到65岁退休时为止则收入分布如下岁退休时为止则收入分布如下图：图：l 10000 10000 ………10000 10000l l35 36 37 ……… 64 65l l 假如平均的年利率为假如平均的年利率为8%，则由年金现值公式可以，则由年金现值公式可以求出求出30年期、每年收入年期、每年收入10 000元的年金现值为：（元的年金现值为：（ 其中：）其中：）l10 000×=10 000×=112 577.8（元）（元）l因因此此，，可可以以以以120 000元元作作为为该该人人的的投投保保金金额额如如果果该该人人死死亡亡，，其其家家属属可可以以得得到到120 000元元的的保保险险金金，，该该保保险险金金以以8%的的投投资资收收益益率率进进行行投投资资所所产产生生的的年年投投资资收收益益为为9600元元，，与与该该被被保保险险人生存时为家庭提供的净收入基本相等。

人生存时为家庭提供的净收入基本相等l以上就是生命价值理论的基本原理以上就是生命价值理论的基本原理l 2．． “人人 身身 保保 险险 设设 计计 ”法法 （（ The Method of Personal Insurance Programming））l 即根据被保险人的经济需要来确定保险金额方法即根据被保险人的经济需要来确定保险金额方法l 主要通过对下列有关项目估计来进行：主要通过对下列有关项目估计来进行：l丧葬费用丧葬费用l医疗费用医疗费用l抵押贷款抵押贷款l其它债务其它债务l子女教育费用子女教育费用l遗属生活费用遗属生活费用l其它其它l对比归纳：对比归纳：l“生生命命价价值值”理理论论着着眼眼点点是是被被保保险险人人所所能能提提供供的的经经济济收收入入，，适适用用于于设设计计死死亡亡保保险险合合同同的的保保险险金金额额，，由此得出的保险金额一般不存在交费能力问题由此得出的保险金额一般不存在交费能力问题l “人人身身保保险险设设计计”法法着着眼眼点点是是被被保保险险人人对对保保险险的的需需求求，，适适用用于于各各种种寿寿险险合合同同的的保保险险金金额额设设计计，，但但其设计的保险金额存在与交费能力不协调的矛盾。

其设计的保险金额存在与交费能力不协调的矛盾 思考题： 若你或你的亲人准备购买人身保险，若你或你的亲人准备购买人身保险，请你根据具体情况确定最适合的险种和请你根据具体情况确定最适合的险种和合理的保险金额合理的保险金额 例例2.18 l某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？答案答案（1）（2）例例2.19l某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3％1）求退休时个人帐户的积累值2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额答案答案（1）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年可领取退休金基本年金公式总结基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付 二、一般年金二、一般年金l一般年金l利率在支付期发生变化l付款频率与利息转换频率不一致l每次付款金额不恒定l分类l支付频率不同于计息频率的年金l支付频率小于计息频率的年金l支付频率大于计息频率的年金l变额年金支付频率不同于计息频率年金支付频率不同于计息频率年金l分类l支付频率小于利息转换频率l支付频率大于利息转换频率l方法l通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。

l年金的代数分析支付频率小于计息频率年金支付频率小于计息频率年金0k2k　　…nk计息支付11…1方法一:利率转换方法二:年金转换l某某人人每每年年年年初初在在银银行行存存款款2000元元，，假假如如每每季季度度计计息息一一次次的的年年名名义义利利率率为为12%，，计计算算5年年后后该该储储户的存款积累值户的存款积累值l方法一:利率转换法l方法二:年金转换法l有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值支付频率大于利息转换频率支付频率大于利息转换频率0第m次每次支付第2m次每次支付　　…第nm次每次支付计息支付12…n年金分析方法年金分析方法l方法一：利率转换法l年金转换法l某某购购房房贷贷款款8万万元元，，每每月月初初还还款款一一次次，，分分10年年还还清清，，每每次次等等额额偿偿还还，，贷贷款款年年利利率率为为10.98%，，计算每次还款额计算每次还款额l方法一:l方法二: 永久年金永久年金l一一笔笔年年金金为为每每6个个月月付付1元元，，一一直直不不断断付付下下去去，，且且第第一一笔笔付付款款为为立立即即支支付付，，问问欲欲使使该该年年金金的的现现时值为时值为10元，问年度实质利率应为多少？元，问年度实质利率应为多少？年金关系年金关系延付年金初付年金现时值积累值一般年金代数公式一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付变额年金变额年金l等差年金l递增年金l递减年金l等比年金等差年金等差年金l一般形式l积累值l现时值012…nPP+QP+(n-1)Q…特殊等差年金特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值例例2.20l某人第1年末存近银行1000元，以后每年都在前一年的基础上加存100元，假如此人共存了10年钱，在年实质利率为5％的情况下，求第10年末此人帐户上的积累值。

答案答案例例2.21l有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值答案答案等比年金等比年金012…n11+k…例例2.22:l某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.答案答案例例2.23l我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式l个人帐户以个人缴费工资的8％记入l如果某职工从20岁参加个人帐户保险，当年工资为6000元l工资年增长率为2％，个人帐户的累计利率为4％l求他在60岁退休时个人帐户的积累值答案答案l3.3.1生命表l3.3.2生命函数2.3生命表和生命函数生命表和生命函数 生存状况、生存表与生存模型生存状况、生存表与生存模型 l通通常常，，我我们们把把寿寿险险公公司司出出售售的的合合同同称称为为寿寿险险保保单单按按寿寿险险保保单单的的约约定定，，保保险险人人（（即即寿寿险险公公司司））将将根根据据被被保保险险人人在在约约定定时时间间内内的的生生存存或或死死亡亡决决定定是是否否给付保险金给付保险金l这这种种只只有有在在特特定定事事件件发发生生时时才才给给付付的的保保险险金金称称作作条条件件支支付付(contingent payment)。

其其最最重重要要特特征征就就是是它它发发生生的的不不确确定定性性一一个个人人的的未未来来生生存存时时间间是不确定的，只有在特殊情况下才是预先可知的是不确定的，只有在特殊情况下才是预先可知的l被被保保险险人人在在未未来来某某个个时时期期的的生生死死是是一一个个不不确确定定性性事事件件，，对对这这个个不不确确定定性性事事件件的的研研究究是是寿寿险险精精算算中中最最重重要要的的工工作作之之一一，，它它决决定定着着保保险险金金的的给给付付与与否否它的研究把数学和生存与死亡概率结合在一起它的研究把数学和生存与死亡概率结合在一起l从从数数学学的的角角度度，，生生存存状状况况是是一一个个简简单单的的过过程程这这个个过程有如下的特征：过程有如下的特征：1.存存在在两两种种状状态态：：生生存存和和死死亡亡单单个个的的人人──经经常常称称作作生命个体生命个体──可被划分为生存者或死亡者可被划分为生存者或死亡者2.生生命命个个体体可可从从“生生存存”状状态态到到“死死亡亡”状状态态，，但但不不能相反3.任任何何个个体体的的未未来来生生存存时时间间都都是是未未知知的的，，所所以以我我们们应应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究。

从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究生命表生命表生存模型生存模型生命表生命表生存模型生存模型生生命命表表,又又称称死死亡亡表表,是是对对一一定定时时期期的的特特定定人人群群生存和死亡情况的记录生存和死亡情况的记录生生存存模模型型就就是是对对此此过过程程建建立立的的一一个个数数学学模模型型，，用用数数学学公公式式进进行行清清晰晰的的描描述述，，从从而而对对死死亡亡率率的的问题作出了一些解释问题作出了一些解释l1、、生生命命表表,又又称称死死亡亡表表,是是对对一一定定时时期期某某一一国国家家或或地地区区的的特特定定人人群群自自出出生生直直至至全全部部死死亡亡这这段段时时间间内内的生存和死亡情况的记录的生存和死亡情况的记录l生生命命表表中中记记载载的的生生存存数数、、死死亡亡数数、、生生存存率率、、死死亡亡率及平均余命等是寿险精算的基础率及平均余命等是寿险精算的基础.l生命表一般具有几个特点：生命表一般具有几个特点：l（（1）人群基数为）人群基数为L0；；l（（2））集集合合是是封封闭闭的的，，即即一一旦旦选选定定，，就就不不再再有有人人进进入，集合人数减少的唯一原因是自然死亡；入，集合人数减少的唯一原因是自然死亡；l（（3））集集合合中中各各成成员员在在每每一一年年龄龄段段上上的的死死亡亡率率是是确确定。

定2.3.1生命表生命表l下面就是生存模型可回答的例子：下面就是生存模型可回答的例子：1.一一个个45岁岁的的人人在在下下一一年年中中死死亡亡的的概概率率是是多多少少?2.假假若若有有1000个个45岁岁的的人人，，那那么么他他们们中中有有多多少人可能在下一年内死亡少人可能在下一年内死亡?3.如如果果某某一一45岁岁的的男男性性公公民民，，在在投投保保了了一一个个10年年的的定定期期的的某某种种人人寿寿保保险险，，那那么么应应该该向向他收多少保费他收多少保费? 4.一一些些特特定定因因素素(如如一一天天吸吸50根根烟烟)对对于于45岁岁的的男男性性公公民民的的未未来来生生存存时时间间的的影影响响是是怎怎样样的的?2、生存模型、生存模型lT(x)：：表表示示x岁岁人人的的余余命命，，即即年年龄龄为为X岁岁的的人人未未来存活的时间，通常简写为来存活的时间，通常简写为TlFx(t)：： 表表 示示 T的的 分分 布布 函函 数数 ，， 定定 义义 为为Fx(t)=P(T≦ ≦t) 表示表示x岁的人在岁的人在t年内死亡的概率年内死亡的概率lSx(t)：表示：表示x岁人的生存函数，岁人的生存函数，定义定义Sx(t)= 1-Fx(t) 表示表示x岁的人将至少活到岁的人将至少活到x+t岁的概率岁的概率.lSx(t)= S0(x+t)/S0(x)年龄为x岁（x＞0）的人的未来生存时间新生婴儿的未来生存时间未来生存时间的密度函数l（一）未来一年的生存与死亡概率l（二）未来任意期限内的生存与死亡概率（一）未来一年的生存与死亡概率（和）（一）未来一年的生存与死亡概率（和） （二）未来任意期限内的生存与死亡概率（二）未来任意期限内的生存与死亡概率 未来生存时间的密度函数3、生命表的结构、生命表的结构lX ：被观察的人口年龄：被观察的人口年龄lLx ：生存数：生存数,指指x岁的生存人数岁的生存人数ldx ：死亡数：死亡数,指指x岁的在一年内死亡的人数岁的在一年内死亡的人数lPx：：生生存存率率, 指指x岁岁的的人人在在一一年年后后仍仍生生存存的的概率概率lQx：死亡率指：死亡率指x岁的人在一年内死亡的概率岁的人在一年内死亡的概率生命表的结构生命表的结构lLx-Lx+1=dxlPx=Lx+1/LxlQx=dx/LxlPx+Qx=1llx：：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。

lndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxlnqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx196Lx-Lx+1=dxPx=Lx+1/LxQx=dx/LxPx+Qx=14、生命表的选择、生命表的选择l生生命命表表是是针针对对确确定定的的人人群群，，依依不不同同的的划划分分标准，生命表可分为不同的类型标准，生命表可分为不同的类型l国民生命表和经验生命表国民生命表和经验生命表l男子表和女子表及男女混合表男子表和女子表及男女混合表l选择表、综合表和截断表选择表、综合表和截断表l寿险生命表和年金生命表寿险生命表和年金生命表l生生命命表表一一般般分分为为国国民民生生命命表表（（national life table）） 和和 经经 验验 生生 命命 表表 （（ experience life table）两大类l国国民民生生命命表表是是以以全全体体国国民民或或特特定定地地区区的的人人口口生生存状况统计资料编制成的存状况统计资料编制成的l经经验验表表是是人人寿寿保保险险公公司司依依据据过过去去其其承承保保的的被被保保险人险人实际的生存状况统计资料编制的实际的生存状况统计资料编制的。

l在在同同一一时时期期内内，，国国民民生生命命的的死死亡亡率率一一般般要要高高于于经验表的死亡率经验表的死亡率l国民生命表又可分为：国民生命表又可分为：l完完全全生生命命表表（（complete life table））和和简简易易生生命表（命表（abridged life table）l完完全全生生命命表表是是根根据据准准确确的的人人口口普普查查资资料料，，依依年年龄龄分分别别计计算算死死亡亡率率、、生生存存率率、、平平均均余余命命等等生生命命函数而编制的函数而编制的l简简易易生生命命表表则则采采取取每每年年的的人人口口生生存存状状况况动动态态统统计计资资料料和和人人口口抽抽样样调调查查的的资资料料，，按按年年龄龄段段（（如如5岁岁或或10岁岁为为一一段段））计计算算的的死死亡亡率率、、生生存存率率、、平均余命等生命函数平均余命等生命函数 l经验生命表经验生命表又可分为：又可分为：l终终极极表表（（ultimate table））、、选选择择表表（（select table）、综合表（）、综合表（aggregate table）等l终终极极表表是是指指剔剔除除了了被被保保险险人人投投保保后后5至至15年年的的经经验验数数据据，，根根据据被被保保险险人人最最终终的的死死亡亡率率编编制制的的生生命命表表，，也也就就是是按按照照承承保保选选择择的的影影响响消消失失后后的的死死亡亡率率来来编编制生命表。

制生命表l1958年年美美国国保保险险监监督督官官标标准准普普通通生生命命表表是是一一种种终终极生命表极生命表l选选择择表表是是一一种种不不同同与与终终极极表表的的生生命命表表在在人人寿寿保保险险的的承承保保过过程程中中，，经经过过体体检检等等选选择择的的被被保保险险人人的的死死亡亡率率等等风风险险低低于于一一般般人人口口的的风风险险，，而而且且最最近近几几年年选选择择的的被被保保险险人人的的死死亡亡率率风风险险低低于于前前些些年年选选择择的的被被保保险险人人的的死死亡亡率率风风险险，，考考虑虑到到这这种种选选择择因因素素的影响之后编制的生命表称为选择表的影响之后编制的生命表称为选择表l综综合合生生命命表表是是指指不不考考虑虑保保险险契契约约有有效效后后经经过过的的年年数数，，以以整整个个保保险险期期间间为为对对象象，，根根据据不不同同年年龄龄的的被被保险人的死亡率数据编制的生命表保险人的死亡率数据编制的生命表 l由由于于根根据据人人寿寿保保险险的的经经验验数数据据编编制制的的生生命命表表不不适适用用于于年年金金保保险险，，寿寿险险公公司司常常常常要要结结合合预预测测的的将将来来较较低低的死亡率为年金保险专门编制一份年金生命表。

的死亡率为年金保险专门编制一份年金生命表l人人寿寿保保险险所所使使用用的的生生命命表表一一般般都都是是静静态态表表，，随随着着社社会会科科技技与与经经济济的的发发展展，，死死亡亡率率逐逐步步降降低低，，要要定定期期地地用用根根据据较较近近经经验验数数据据编编制制的的静静态态表表代代替替原原来来的的静静态态表 l例例如如：：美美国国1980年年保保险险监监督督官官标标准准普普通通生生命命表表已已取取代代了了1958年年保保险险监监督督官官标标准准普普通通生生命命表表该该表表是是根根据据1970年年至至1975年年的的死死亡亡率率数数据据编编制制而而成成的的，，分分为为男男性性生生命命表表和和女女性性生生命命表表，，显显示示了了较较低低的的死死亡亡率 不不同同寿寿险险业业务务的的精精算算，，应应结结合合不不同同分分类类，，选选择择适适当当的的生生命命表表作作为为预预定定死死亡亡率率的的基基础；础；选选择择生生命命表表作作为为精精算算基基础础时时，，应应考考虑虑生生命命表表人人群群的的死死亡亡状状况况与与计计算算对对象象的的死死亡亡状况接近状况接近l一般整数年龄生命函数一般整数年龄生命函数l(1)tpx=P(T﹥t)= Sx(t)= S0(x+t)/S0(x)l(2)tqx=P(T≦≦t)= Fx(t)=1-tpxl(3)ux=-S’0(x)/ S0(x) 2.3.2生命函数生命函数剩余寿命剩余寿命l定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

l分布函数 ：= Fx(t))= Fx(t)=基本函数基本函数l剩余寿命的生存函数 ：l特别：= Sx(t)基本函数基本函数l ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率l ：x岁的人将在1年内去世的概率l ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 l 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：l 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作l 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：l 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：生命表基本函数生命表基本函数210(1)(2)(3)生命表基本函数生命表基本函数211npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数 当n=1，简记为px 生命表基本函数生命表基本函数212nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，生命表基本函数生命表基本函数213n ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。

当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数 nTx：x岁的人群未来累积生存人年数在均匀分布假设下，死亡效力死亡效力l定义： 的瞬时死亡率，简记l死亡效力与生存函数的关系死亡效力死亡效力l死亡效力与密度函数的关系l死亡效力表示剩余寿命的密度函数死亡力死亡力216死亡力死亡力217实际上生命表x岁平均余寿 正是T(x)随机变量的期望值死亡力死亡力218n生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分n生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分n生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分 死亡力死亡力219对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：220生命函数生命函数l余命（1）取整的余命（2）平均余命 完全平均余命 取整平均余命整值剩余寿命整值剩余寿命l定义： 未来存活的完整年数，简记l概率函数剩余寿命的期望与方差剩余寿命的期望与方差l期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记l剩余寿命的方差整值剩余寿命的期望与方差整值剩余寿命的期望与方差l期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记l整值剩余寿命的方差生命表实例（美国全体人口生命表）生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89例例2.24：：l已知 l计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。

3）该人群平均寿命答案答案229230231中国的生命表中国的生命表l中国生命表结构l生命曲线l生命特点l目目前前，，各各个个人人寿寿保保险险公公司司普普遍遍在在用用的的是是《《中中国国人人寿寿保保险险业业经经验验生生命命表表(2000-2003)》》，，英英文文名名称称为为《《China Life Insurance Mortality Table(2000-2003)》》，简称：，简称：CL(2000-2003)l其其中中包包括括，，非非养养老老金金业业务务表表两两张张，，养养老老金金业业务务表表两张，分别是：两张，分别是：l①①非养老金业务男表，简称非养老金业务男表，简称CL1(2000-2003)；；l②②非养老金业务女表，简称非养老金业务女表，简称CL2(2000-2003)；；l③③养老金业务男表，简称养老金业务男表，简称CL3(2000-2003)；；l④④养老金业务女表，简称养老金业务女表，简称CL4(2000-2003)年龄（x）死亡率（qx）生存人数（lx）死亡人数（dx）平均余命（ex）400.002051958 7851 96635.93410.002250956 8192 15335.00420.002470954 6662 35834.08430.002713952 3082 58433.16440.002981949 7242 83132.25450.003276946 8933 10231.35460.003601943 7913 39930.45470.003958940 3933 72229.56480.004352936 6704 07628.67490.004784932 5944 46227.80选择选择-终极生命表终极生命表l选择-终极生命表构造的原因l需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。

l需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失l选择-终极生命表的使用选择选择-终极表实例终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482生命函数生命函数l保险领域常用的死亡法则保险领域常用的死亡法则（（1）亚伯拉罕）亚伯拉罕.德德.莫伊夫拉莫伊夫拉(Abraham de Moivre)死亡法则死亡法则（（2）戈姆珀兹）戈姆珀兹(Gompertz)死亡法则死亡法则（（3）梅克汉姆）梅克汉姆(Makeham)死亡法则死亡法则l生存函数生存函数l保险领域常用的死亡法则保险领域常用的死亡法则 lAbraham de Moivre 死亡法则： 为极限（最终）年龄 lGompertz 死亡法则： 令 ，对上式积分得 （C为常数）lMakeham 死亡法则： （A、C为常数） 有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 lDe Moivre模型(1729) lGompertze模型(1825)有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 lMakeham模型(1860)lWeibull模型(1939)参数模型的问题参数模型的问题l至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。

这四个常用模型的拟合效果不令人满意l使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差l寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布l在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布l2.4.1生存年金概述l2.4.2年付一次的生存年金l2.4.3年付m次的生存年金l2.4.4每年连续给付的生存年金2.4生存年金生存年金生存年金概述生存年金概述l生生存存年年金金也也是是年年金金的的一一种种形形式式，，它它是是以以人人的的生生存存作作为为年年金金支支付付的的条条件件，，即即以以特特定定的的人人仍仍在在生生存存中中为限制条件，按期作一连串的给付为限制条件，按期作一连串的给付l生存年金与确定年金的区别：生存年金与确定年金的区别：①①生生存存年年金金以以特特定定的的人人生生存存为为给给付付的的条条件件，，确确定定年年金与特定的人或年金受领人的生死无关；金与特定的人或年金受领人的生死无关；②②生生存存年年金金的的给给付付期期间间或或给给付付次次数数，，事事先先无无法法确确定定，，而而确确定定年年金金的的给给付付期期间间或或给给付付次次数数，，事事前前可可以以确确定；定；③③生生存存年年金金的的有有关关计计算算，，除除考考虑虑利利率率外外，，还还必必须须考考虑特定的人或年金受领人的生存率。

虑特定的人或年金受领人的生存率生存年金的用途生存年金的用途l被保险人保费交付常使用生存年金的方式l某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：l养老保险l伤残保险l抚恤保险l失业保险 定义定义l现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险l也就是我们讲到的n年期纯生存保险单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为l在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值与生存相关联的一次性支付l计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费已知l假定i＝6％l假定i＝2.5％相关公式及意义相关公式及意义 年龄xx+tx+n现时值11S1l2.5.1人寿保险保费拟定原则和构成人寿保险保费拟定原则和构成l2.5.2人寿保险纯保费的确定人寿保险纯保费的确定l2.5.3人寿保险附加保费与毛保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定2.5人寿保险保费的确定人寿保险保费的确定2.5.1人寿保险保费拟定原则和构成人寿保险保费拟定原则和构成l保保费费的的概概念念:是是保保险险人人为为履履行行一一定定的的保保险险责责任任向向投投保保人人收收取取的的实实际际金金额额。

这这也也是是我我们们常常说说的的“毛保费毛保费”l保险费是投保人为转移风险、取得保险人在约定责任范围内承担的赔偿(或给付)责任而交付的费用，也是保险人为承担约定的保险责任而向投保人收取的费用l保险费是建立保险基金和责任准备金的主要资金来源，也是保险人履行保险赔偿(或给付)义务的经济基础l保费的构成：保费的构成：l纯保费（净保费）纯保费（净保费）l费用负荷毛保费（纯保费费用负荷毛保费（纯保费+经营费用）经营费用）恰能满足保额恰能满足保额支付的保费支付的保费恰能满足保额恰能满足保额支付和费用支付的保费支付和费用支付的保费毛保费构成毛保费构成纯保费纯保费附加保费附加保费附附加加保保费费：：各各种种经经营营费费用用（（开开业业费费用用、、代代理理手手续续费、行政管理费等）费、行政管理费等）+风险加成风险加成+税收税收+利润利润人身保险费人身保险费 = 保险金额保险金额 × 保险费率保险费率人人身身保保险险费费 = 纯纯保保险险费费 + 附附加加保保险险费费【【引例引例】】好朋友怎么能赚我的钱 l王王小小明明是是一一家家私私营营企企业业的的财财务务负负责责人人，，个个人人收收入入水水平平较较高高，，家家庭庭收收入入状状况况不不错错，，她她与与身身为为人人身身保保险险代代理理人人的的李李小小雨雨原原来来是是很很好好的的朋朋友友。

2010年年9月月，，王王小小明明在在李李小小雨雨的的劝劝说说下下，，对对人人身身保保险险产产生生了了兴兴趣趣，，遂遂通通过过李李小小雨雨购购买买了了一一份份平平安安保保险险公公司司的的为为期期15年年的的意意外外伤伤害害附附加加重重大大疾疾病病保保险险，，趸趸缴缴保保险险费费约约10万元l2010年年11月月，，王王小小明明在在与与公公司司同同事事赵赵小小光光的的闲闲谈谈中中了了解解到到，，人人身身保保险险代代理理人人是是很很赚赚钱钱的的，，在在缴缴纳纳的的保保险险费费中中约约有有百百分分之之十十的的比比例例是是他他们们的的佣佣金金收收入入王王小小明明想想到到自自己己刚刚刚刚购购买买不不久久的的10万万元元保保险险，，就就有有1万万元元揣揣进进了了朋朋友友李李小小雨雨的的腰腰包包对对此此，，王王小小明明十十分分气气愤愤，，心心想想作作为为好好朋朋友友的的李李小小雨雨怎怎么么能能赚赚自自己己的的钱钱，，而而且且还还连连任任何何消消息息都都没没有有告告诉诉自自己己，，于于是是就就找找到到李李小小雨雨理论l李李小小雨雨觉觉得得十十分分冤冤枉枉，，这这1万万元元是是从从平平安安保保险险公公司司按按照照正正规规的的业业务务流流程程和和正正式式的的业业务务规规定定获获得得的的保保险险费费佣佣金金收收入入，，而而并并不不是是自自己己从从中中作作假假想想要要赚赚好好朋朋友友的的钱钱。

一一个个觉觉得得不不解解，，一一个个认认为为冤冤枉枉，，王王小小明明和和李李小小雨雨二二人人为为此此大大吵吵了了一一场场，，大大家家搞搞得得不欢而散不欢而散 l保费的支付方式：保费的支付方式：l一次性付清；一次性付清；l定期缴纳一固定款额，定期缴纳一固定款额，“定期缴纳均衡保费定期缴纳均衡保费”；；l定期缴纳一可变款额，定期缴纳一可变款额，“定期缴纳非均衡保费定期缴纳非均衡保费”l保费的计算特点：保费的计算特点：l依依据据过过去去的的损损失失统统计计与与费费用用记记录录等等因因素素，，形形成成对未来的预期，采用的是预期的比率对未来的预期，采用的是预期的比率l保费计算的原则：充足性；公平性；适量性保费计算的原则：充足性；公平性；适量性 l期期望望收收支支平平衡衡原原则则：：在在保保险险合合同同的的有有效效期期内内，，在在任任一一时时点点上上，，保保险险公公司司所所有有的的收收入入与与其其所所有有的支出的价值相等的支出的价值相等期望损失为零期望损失为零原则）原则）l一一般般在在计计算算保保费费时时，，通通常常考考虑虑保保单单生生效效时时所所有有收收与与支支的的精精算算现现值值或或合合同同终终止止时时所所有有收收与与支支的的精算现值。

精算现值保单生效时保单生效时所有收与支的精算现值所有收与支的精算现值纯保费精算现值纯保费精算现值=保额的精算现值保额的精算现值费费用用负负荷荷毛毛保保费费精精算算现现值值=保保额额的的精精算算现现值值+费费用用的精算现值的精算现值毛保费精算现值毛保费精算现值=纯纯 保保 费费 精精 算算 现现 值值 +附附 加加 费费 用用 精精 算算 现现 值值 =各各种种给给付付的的精精算算现现值值+各各种种费费用用支支出出的的 精算现值精算现值价价值值方方程程等值方程表示的就是现金流入和现金流出的等值方程表示的就是现金流入和现金流出的精算现值相等，在计算中需要考虑：精算现值相等，在计算中需要考虑：1、预期利息率、预期利息率2、预期死亡率、预期死亡率3、预期费用率、预期费用率l利息理论在人身保险定价中的运用利息理论在人身保险定价中的运用 l保险人应在其所收入的保险费中设立责任准备金用于其在以后要承担的给付保险金的责任责任准备金在履行给付之前，保险公司可以利用它进行投资，其收益由保险公司在计算保险费率时，按照一定的收益率计算给被保险人。

人寿保险期限越长，利息的作用就显得越为重要，对保险费率的影响也就越大l l一般情况下存在两种常见的计算利息的方式，即单利和复利通常的情况下，保险公司在厘定保险费率和进行保险投资是考虑的都是复利 价值方程价值方程 l收入的预期现值＝支出的预期现值收入的预期现值＝支出的预期现值 l对对于于设设定定的的保保险险给给付付金金额额，，我我们们可可以以找找到到一一个个适适当当的的投投保保人人缴缴费费标标准准，，以以支支付付此此保保险险给给付付金金额所需的成本和费用；额所需的成本和费用；l同同样样，，如如果果设设定定了了缴缴纳纳的的保保费费数数额额，，我我们们就就可可以找到适当的保险给付与其对应以找到适当的保险给付与其对应 人寿保险纯保费的确定人寿保险纯保费的确定l趸缴纯保费的计算趸缴纯保费的计算（１）定期死亡保险（１）定期死亡保险（２）终身死亡保险（２）终身死亡保险（３）（３） N年纯粹生存保险年纯粹生存保险（４）（４） N年两全保险年两全保险（５）期初付（５）期初付n年期生存保险年期生存保险（６）期末付（６）期末付n年期生存年金年期生存年金趸缴纯保费精算现值趸缴纯保费精算现值=保额的精算现值保额的精算现值纯保费1.三个基本假定条件：三个基本假定条件：a)同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。

b)被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合c)保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）2.原则：原则：l保费均衡原则，即保费收入的期望现值正好等于将来的保险赔付金的期望现值它的实质是在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现值等于支出期望现值这时，保险人签单损失量的期望为零3.定义：定义：l由保费均衡原则确定的保费称为纯保费4.基本符号：基本符号：l —— 投保年龄x的人l ——人的极限年龄l ——保险金给付函数l ——贴现函数l ——保险给付金在保单生效时的现值， l什么是趸缴什么是趸缴纯纯保费保费l在保单生效日一次性一次性支付将来保险赔付金的期望现时值l趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定l按照保费均衡原则，趸缴纯保费就等于趸缴纯保费的厘定？？概率基础概率基础趸缴纯保费的概率基础：1.实实务务中中，，按按年年龄龄划划分分被被保保险险人人，，将将同同年年龄龄的的被被保保险人视为同质群体，具有相同的死亡规律险人视为同质群体，具有相同的死亡规律。

2.设设年年龄龄为为x岁岁的的被被保保险险人人，，因因其其死死亡亡而而获获得得给给付付，，该该给给付付金金额额折折算算到到签签单单时时的的现现值值为为ZZ是是一一个个随机变量，它的值取决于给付时刻和给付金额随机变量，它的值取决于给付时刻和给付金额趸缴纯保费的概率基础：3.将将死死亡亡给给付付的的现现值值均均摊摊到到每每位位被被保保险险人人的的身身上上，，就就是是保保险险人人应应向向每每位位被被保保险险人人收收取取的的趸趸缴缴纯纯保保费费由由大大数数率率知知，，趸趸缴缴纯纯保保费费等等于于Z的的数数学学期期望望，，即即E(Z)l注注：：E(Z)反反映映了了保保险险人人承承诺诺的的未未来来给给付付金金额额在在同同时时考考虑虑利利率率和和死死亡亡率率因因素素后后的的现现值值，，因因而而 又又 称称 为为 “精精 算算 现现 值值 （（ Actuarial Present Value））”（（1）、）、n年定期寿险年定期寿险l定义l保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险l假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险l基本函数关系趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定保费的精算现值保费的精算现值=lx保额的精算现值保额的精算现值=dxv+ dx+1v2+… dx+n-1vn=（（dxv+ dx+1v2+… dx+n-1vn））/ lx趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定l符号：l厘定：现值随机变量的方差现值随机变量的方差l方差公式l记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）l所以方差等价为 l设l计算2.25引例：定期寿险l 假如有100个40岁的人投保了1 000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。

如果预定年利率为3％，各年预计的死亡人数为分别为1、2、3、4、5人，这时，每年的赔付支出及其折现值如下表所示：保单精算现值将各年的赔付现值加总，可以得到发行100张保单的未来赔付支出现值（元）：所以，平均每一保单的未来赔付现值为134.68元这一现值被称为这一保保单的的精算精算现值lE(Z)是x岁的被保险人为获得保单约定给付金额而须趸缴的纯保费金额，是保险产品价格的一种表现形式l从概率角度分析仅收取纯保费对保险公司意味着什么？如何解决这个问题？精算模型But 保险人关心什么？保险人关心什么？ 在某定价下，保险基金是否能满足于在某定价下，保险基金是否能满足于未来的保险给付未来的保险给付l假设保险人签发了n份某险种的保单，其未来给付现值总额为S，则 ，其中， 为第 j 份保单的未来给付现值，通常假设它们是相互独立的随机变量l则保险人收取的趸缴纯保费为 精算模型 精算模型l由中心极限定理，当n充分大时，S呈近似正态分布。

所以，保险人具备足够偿付能力的概率仅为如何提高保险人具备偿付能力的概率？如何提高保险人具备偿付能力的概率？ 必须提高保费！必须提高保费！l将提高保费的过程称为风险加成风险加成精算模型l设风险加成后的纯保费为G， 其中， 称为风险加成因子l如果希望保险人具备偿付能力的概率高达95%，即l则 l因此l可见，风险加成部分由给付风险的均方差体现因此，在研究寿险的精算问题时，不仅要研究风险的均值，还必须研究风险的方差l实务中采取提高生命表各年龄下的死亡率的方法以体现风险加成控制风险精算模型人寿保险纯保费的确定人寿保险纯保费的确定l均衡保费的计算均衡保费的计算（１）自然保费和均衡保费（１）自然保费和均衡保费（２）均衡纯保费计算的一般原理（２）均衡纯保费计算的一般原理（３）定期死亡保险（３）定期死亡保险（４）终身死亡保险（４）终身死亡保险（５）（５） n年纯粹生存保险年纯粹生存保险（６）（６） n年两全保险年两全保险（７）年初缴纳保费（７）年初缴纳保费2.5.3人寿保险附加保费与毛保费的确定人寿保险附加保费与毛保费的确定l1、费用负荷毛保费的计算：、费用负荷毛保费的计算：l费用分析；费用分析；l均衡费用负荷毛保费的计算均衡费用负荷毛保费的计算保险费用简介保险费用简介l保险费用的定义保险费用的定义l保保险险公公司司支支出出的的除除了了保保险险责责任任范范围围内内的的保保险险金金给给付付外外，，其其它它的的维维持持保保险险公公司司正正常常运运作作的的所所有有费费用用支支出出统统称称为为经经营营费费用用。

这这些些费费用用必必须须由由保保费费和和投投资收益来弥补资收益来弥补l保险费用的范围：保险费用的范围：l税税金金、、许许可可证证、、保保险险产产品品生生产产费费用用、、保保单单销销售售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等保险机构费用开支的一种分类方案保险机构费用开支的一种分类方案费用分类成分投资费用（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本保险费用1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录2、维持费（1）保费收取及会计（2）给付变更及理陪选择权准备（3）与保单持有人进行联络3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务（3）普通会计（4）税金、许可证等费用4、理赔费用 （1）理陪调查和辩护费（2）各种给付的费用均衡费用负荷毛保费的计算均衡费用负荷毛保费的计算费用负荷毛保费的厘定原则：精算等价原则费用负荷毛保费的厘定原则：精算等价原则费费用用负负荷荷毛毛保保费费精精算算现现值值=保保额额的的精精算算现现值值+费费用用的精算现值的精算现值纯保费精算现值纯保费精算现值=保额的精算现值保额的精算现值l2、毛保费的计算：利率；死亡率；费用率、毛保费的计算：利率；死亡率；费用率l毛毛保保费费的的定定义义：：保保险险公公司司实实际际收收取取的的保保费费为为用用于于保保险险金金给给付付的的纯纯保保费费和和用用于于各各种种经经营营费费用用开开支支以以及及风风险险加加成成、、利利润润加加成成的的附附加加费费用用之之和和，，即即毛毛保保费，简记为费，简记为G。

l由由于于预预定定利利率率、、死死亡亡率率、、费费用用率率与与实实际际情情况况存存在在差差异异，，一一般般情情况况下下需需要要考考虑虑风风险险加加成成；；（（比比如如附附加加费费用用中中要要考考虑虑通通货货膨膨胀胀或或通通货货紧紧缩缩的的趋趋势势））同同样为了获得一定的盈利，需进行利润加成样为了获得一定的盈利，需进行利润加成l毛保费的厘定原则毛保费的厘定原则l基本原则：精算等价原则基本原则：精算等价原则l2、毛保费的计算：利率；死亡率；费用率、毛保费的计算：利率；死亡率；费用率A、毛保费精算现值、毛保费精算现值=纯纯 保保 费费 精精 算算 现现 值值 +附附 加加 费费 用用 精精 算算 现现 值值 =各各种种给给付付的的精精算算现现值值+各各种种费费用用支支出出的的 精算现值精算现值纯保费精算现值纯保费精算现值=保额的精算现值保额的精算现值B、、在在确确定定附附加加费费用用时时，，一一般般只只考考虑虑保保险险费费用用，，而而以以投投资资费费用用冲冲销销投投资资收收益益，，体体现现在在保保费费计计算算中中则则适适当降低预定收益率，即预定利率。

当降低预定收益率，即预定利率例例2.26l购购买买了了保保险险金金额额为为2万万元元的的半半连连续续型型终终身身寿寿险险保保单单，，按按下下表表所所列列各各项项费费用用，，根根据据精精算算等等价价原原理理计计算算年年缴纯保费和年缴毛保费缴纯保费和年缴毛保费i=6%））l已知已知未来保险费用的分配未来保险费用的分配第一年第一年续年续年分类分类每份每份每千元每千元保费百分比保费百分比（（%））每份每份每千元每千元保费百分比（保费百分比（%））2-9年年10-15年年16年以上年以上1、新契约费、新契约费（（1）销售费用）销售费用 佣金佣金--50--553 销售事务销售事务--25--2.51.51 其它其它12.54------（（2）分类）分类180.5------（（3）发行与记录）发行与记录4-------2、维持费、维持费20.25-20.25---3、营业费用、营业费用（（1）（）（2）（）（3））40.25-40.25---（（4）税金）税金--3--222小计小计40.557860.59.58.564、给付费用、给付费用每份保单每份保单18元加上千元保额元加上千元保额 0.1元元答案答案2.27毛保费的价值方程举例毛保费的价值方程举例l一一个个18岁岁的的男男性性投投保保了了一一份份养养老老金金保保险险，，按按保保单单约约定定，，在在他他60岁岁后后可可于于每每月月初初领领取取1 000元元的的保保险险金金，，为为此此，，他他将将于于18～～60岁岁期期间间的的每每月月初缴纳保费。

初缴纳保费l已已知知保保单单的的初初始始费费用用为为月月保保费费的的60％％加加10元元，，续续保保费费用用每每月月为为保保费费的的10％％；；采采用用中中国国人人寿寿保保险险经经验验生生命命表表（（1990－－1993））（（男男）），，利利率率按按7.5％计算计算他应缴纳的月保费计算他应缴纳的月保费毛保费的价值方程举例毛保费的价值方程举例l设设应应缴缴月月保保费费为为P元元根根据据题题意意，，保保险险给给付付在在60岁时的预期现值为岁时的预期现值为l 1000×12l应缴保费在应缴保费在18岁时的预期现值为岁时的预期现值为 P×12l发发生生的的费费用用在在18岁岁时时的的预预期期现现值值为为 10％％P×12 +50％％ P＋＋10l价值方程为：价值方程为：l应应缴缴保保费费预预期期现现值值=发发生生的的费费用用预预期期现现值值+保保险险给给付在付在60岁时的预期现值岁时的预期现值l求得求得 P＝＝33.87487,即月缴保费即月缴保费33.88元l2.6.1健康保险保费的厘定健康保险保费的厘定l2.6.2人身意外伤害保费的厘定人身意外伤害保费的厘定2.6健康和人身意外伤害保险健康和人身意外伤害保险 保费的确定保费的确定l寿寿险险保保费费的的计计算算相相对对复复杂杂，，保保费费的的构构成成由由多多种种因因素素决决定定。

单单纯纯用用来来支支付付保保额额的的保保费费叫叫纯纯保保费费；；在在综综合合考考虑虑其其经经营营各各项项业业务务时时发发生生各各种种费费用用、、可可能能的风险和利润因素后，形成人寿险的毛保费的风险和利润因素后，形成人寿险的毛保费l健健康康保保险险和和人人身身意意外外伤伤害害保保险险保保费费的的确确定定与与人人寿寿保保险险相相比比是是较较为为简简单单的的，，其其计计算算过过程程同同样样是是先先算算出出纯纯保保费费，，然然后后在在此此基基础础上上加加进进必必要要的的风风险险、、费费用用、、利利润润等等因因素素从从而而得得到到毛毛保保费费但但决决定定二二者者纯纯保费的因素不同：保费的因素不同：l对对健健康康保保险险来来说说，，发发病病率率是是影影响响其其年年净净赔赔付付成成本本的主要因素，从而也是决定其纯保费的主要因素；的主要因素，从而也是决定其纯保费的主要因素；l在在人人身身意意外外伤伤害害保保险险保保费费的的确确定定中中，，被被保保险险人人的的职业因素具有重要的意义职业因素具有重要的意义2.6.1健康保险保费的厘定健康保险保费的厘定l1、健康保险费率厘定的方法（按年龄对赔付、健康保险费率厘定的方法（按年龄对赔付的影响）的影响）　　（１）统一费率法　　（１）统一费率法　　（２）阶梯费率法　　（２）阶梯费率法　　（３）一年定期法　　（３）一年定期法　　（４）均衡保险费法　　（４）均衡保险费法l发病率统计资料来源：发病率统计资料来源：l个人健康保险单、个人健康保险单、l人寿保险的丧失工作能力收入附加特约、人寿保险的丧失工作能力收入附加特约、l团体健康保险单团体健康保险单.l发病率统计资料不足发病率统计资料不足l2、健康保险费率厘定的原理、健康保险费率厘定的原理l在费率厘定中经验数据的使用；总保险费在费率厘定中经验数据的使用；总保险费l影响健康保险的因素要比人寿保险与意外伤害保险的影响健康保险的因素要比人寿保险与意外伤害保险的因素要多，除了利率、死亡率、费用率外，精算师因素要多，除了利率、死亡率、费用率外，精算师还还需考虑伤病发生率和持续时间、医疗价格、医疗机构需考虑伤病发生率和持续时间、医疗价格、医疗机构等级、地区差异等寿险精算中不常涉及的因素，等级、地区差异等寿险精算中不常涉及的因素，而且而且这些因素对健康保险费的影响不易被准确、完整的测这些因素对健康保险费的影响不易被准确、完整的测定出来。

定出来l索赔总额（据此算出的费率为健康保险纯费率）索赔总额（据此算出的费率为健康保险纯费率）l医疗保险：被保疾病的发病率、患者平均住院天数、平均每医疗保险：被保疾病的发病率、患者平均住院天数、平均每天的住院成本、手术费用、医师服务费用等；天的住院成本、手术费用、医师服务费用等；l残疾收入保险：被保人伤残的概率、程度、残疾可能持续的残疾收入保险：被保人伤残的概率、程度、残疾可能持续的天数、平均残疾收入给付水平等；天数、平均残疾收入给付水平等；l还需考虑不同地区、不同经济环境下以上费用的差异还需考虑不同地区、不同经济环境下以上费用的差异l等待期长短及免赔额的多少；等待期长短及免赔额的多少；l续保率或失效率；续保率或失效率；l（对健康保险定价非常重要，通常保单初年的附加费用很（对健康保险定价非常重要，通常保单初年的附加费用很高，尤其是佣金费用和保单的签发成本，如果保单初年的高，尤其是佣金费用和保单的签发成本，如果保单初年的续保率很低或失效率很高，而定价时未充分考虑，则对健续保率很低或失效率很高，而定价时未充分考虑，则对健康保险公司日常经营非常不利）康保险公司日常经营非常不利）l安全余量：考虑意外事件造成的异常损失，在费率安全余量：考虑意外事件造成的异常损失，在费率计算上预留一部分空间；计算上预留一部分空间；l利率：对大多数健康保险产品费率厘定作用不明显，利率：对大多数健康保险产品费率厘定作用不明显，主要体现在残疾收入保险等长期险种。

主要体现在残疾收入保险等长期险种l均衡保险费的计算（均衡保险费的计算（P71-72））n索赔总额索赔总额=预计索赔次数预计索赔次数*平均每次索赔额平均每次索赔额预计索赔次数预计索赔次数=单个被保险人的索赔频率单个被保险人的索赔频率*生存的被生存的被保险人人数保险人人数n每份保单的年净赔付成本每份保单的年净赔付成本=年赔付频数年赔付频数*平均赔付期平均赔付期*平均每次索赔额平均每次索赔额n依据依据连续发病率表与连续残疾表连续发病率表与连续残疾表进行处理进行处理n均衡纯保费均衡纯保费=将来年净赔付成本的现值将来年净赔付成本的现值/保险费缴保险费缴付期年金额为付期年金额为1元的年金的现值元的年金的现值2.6.2人身意外伤害保费的厘定人身意外伤害保费的厘定人身意外伤害保险依据保额损失率的经验资料计算人身意外伤害保险依据保额损失率的经验资料计算n计算意外伤害保险费率的一般方法计算意外伤害保险费率的一般方法n意意外外伤伤害害保保险险的的费费率率应应与与被被保保人人的的危危险险程程度度相相适适应应，，首先需根据被保人的危险程度进行分类首先需根据被保人的危险程度进行分类n如一年期意外险种，一般按职业划分；如一年期意外险种，一般按职业划分；n极短期意外险，一般按活动性质划分。

极短期意外险，一般按活动性质划分n在在分分类类的的基基础础上上，，依依据据有有关关统统计计资资料料分分别别计计算算费费率率铁铁路路旅旅客客意意外外险险的的费费率率，，根根据据铁铁路路部部门门的的伤伤亡亡统统计计资料进行估算资料进行估算l意外伤害保险纯费率的计算意外伤害保险纯费率的计算: 纯费率的计算原理：纯费率的计算原理：P=E（（X））　纯费率的计算方法：一元线性回归分析法　纯费率的计算方法：一元线性回归分析法. 　　　　　　　　　移动平均法　　　　　　　　　移动平均法. 　　　　　　　　　正态分布法　　　　　　　　　正态分布法.　　l人身意外伤害保险附加费率的计算：人身意外伤害保险附加费率的计算：l业务费用业务费用l预期经营利润预期经营利润l税收税收实例分析实例分析（固定养老金计划）（固定养老金计划）一般情形：责任：未退休时，每月初存入一定金额，具体方式为：25岁—29岁，月付X1；30岁—39岁，月付X2；40岁—49岁，月付 X3；50—59岁，月付 X4权益：从退休时(60岁)开始，每月初领取一定数额(P)的退休金，一直进行20年 问题是:在年利率一定的条件下，如何确定退休基金的月存款额和最终的月退休基金的领取数额实例分析实例分析考虑25岁参加养老金计划，基本的价值方程是实例分析实例分析例：假定年利率为10%，在25岁到29岁时，每月存款200元，在30岁到39岁时，每月存款300元，在40岁到49岁时，每月存款500元，在50岁到59岁时，每月存款1000元，分别对不同年龄的计划参加者计算每月领取的退休金数额。

200、300、500、1000）1）恰好在25岁开始加入养老金计划：即即6060岁退休后的月退休金为岁退休后的月退休金为10580.4810580.48元，直到元，直到8080岁岁实例分析实例分析2）恰好从30岁开始加入养老金计划：（0、300、500、1000）即即6060岁退休后的月退休金为岁退休后的月退休金为8077.898077.89元，直到元，直到8080岁岁实例分析实例分析3）恰好从40岁开始加入养老金计划：（0、0、500、1000）即即6060岁退休后的月退休金为岁退休后的月退休金为4299.734299.73元，直到元，直到8080岁岁。