2022年简单线性规划问题与基本不等式作业及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 简洁的线性规划问题与基本不等式作业及答案一、挑选题：x＋y－1≥0,1.〔2022·福建高考 〕在平面直角坐标系中,如不等式组x－1≤0,〔a 为常数 〕所表ax－y＋1≥0示的平面区域的面积等于2,就 a 的值为 〔〕 A．－ 5 B．1C ．2 D．3 x＋y－1≥ 0,解读： 不等式组x－1≤0,所围成的区域如下列图．ax－y＋1≥0就 A〔1,0〕,B〔0,1〕,C〔1,1＋a〕 且 a>－1,∵S△ ABC＝2,∴1 2〔1＋ a〕× 1＝2,解得 a＝3.答案： D x2＋y 2＝4 在区域 D 内2．已知 D 是由不等式组x－2y≥0,所确定的平面区域,就圆x＋3y≥0的弧长为 〔〕 A.π 4 B.π 2C.3π 4 D.3π2解读： 如图, l1、 l2 的斜率分别是 部分．∵ tan∠AOB＝1 2＋1＝1,1－2× 1k1＝1 2,k2＝－ 1 3,不等式组表示的平面区域为阴影∴∠ AOB＝π 4,∴弧长＝π 4·2＝π 2.答案： B x＋y≥3,3.〔2022·天津高考 〕设变量 x、y 满意约束条件x－y≥－ 1,就目标函数z＝2x＋3y 的 2x－y≤ 3,最小值为 〔 〕 A．6 B．7C．8 D．23 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x＋y≥3,解读： 约束条件x－y≥－1,表示的平面区域如图2x－y≤3易知过 C〔2,1〕时,目标函数 z＝2x＋3y 取得最小值．∴ zmin＝2× 2＋3× 1＝7.答案： B x＋y≥1,4．〔2022 ·陕西高考 〕如 x,y 满意约束条件x－y≥－ 1,目标函数z＝ ax＋2y 仅在点2x－ y≤2,〔1,0〕处取得最小值,就a 的取值范畴是 〔〕 A．〔－ 1,2〕 B．〔－ 4,2〕C．〔－4,0] D．〔－2,4〕 解读： 可行域为 △ ABC,如图当 a＝0 时,明显成立．当a＞0 时,直线ax＋2y－ z＝0 的斜率 k＝－a 2＞kAC＝－ 1,a＜ 2. 当 a＜ 0 时, k＝－a 2＜kAB＝2,∴a＞－ 4.综合得－ 4＜a＜ 2. 答案： B 5.〔2022 ·湖北高考 〕在“ 家电下乡” 活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台．如每辆车至多只运一次,就该厂所花的最少运输费用为 〔 〕 A．2 000 元 B．2 200 元 C．2 400 元 D．2 800 元解读： 设需使用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,运输费用z 元,依据题意,得线性20x＋10y≥100,约束条件0≤x≤4,求线性目标函数z＝400x＋300y 的最小值．0≤y≤8,名师归纳总结 解得当x＝4,时, zmin＝2 200.答案： B A 原料3第 2 页,共 9 页y＝26．〔2022 ·四川高考 〕某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润5 万元、每吨乙产品可获得利润3 万元 . 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13 吨、 B 原料不超过18 吨,那么该企业可获得最大利润是〔〕 A．12 万元 B．20 万元 C．25 万元 D． 27 万元解读： 设该企业生产甲产品为x 吨,乙产品为y 吨,就该企业可获得利润为x≥0,z＝5x＋3y,且y≥0,联立3x＋y＝ 13,解得x＝3,3x＋y≤13,2x＋3y＝18,y＝4.2x＋3y≤18,由图可知,最优解为P〔3,4〕,∴z 的最大值为z＝ 5× 3＋3× 4＝27〔万元 〕．答案： D 7.设 x、y 均为正实数,且3 ＋2＋x3 ＝1,就 xy 的最小值为 〔2＋y〕 A．4 B． 4 3C．9 D． 16 解读： 由3 ＋2＋x3 ＝1 可得 xy＝8＋x＋y.∵x, y均为正实数,2＋y∴ xy＝8＋ x＋y≥8＋ 2 xy〔当且仅当x＝y 时等号成立 〕,即 xy－2 xy－8≥0,〔可解得xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为16.答案： D 8．〔2022 ·天津高考 〕设 a>0,b>0.如3是 3 a 与 3b的等比中项,就a＋1 b的最小值为 〔〕 A．8 B． 4C．1 D.1 4解读： ∵3是 3 a 与 3b 的等比中项, ∴ 〔3〕2＝3a·3 b.即 3＝3 a＋b,∴a＋b＝1. 此时1 a＋1 b＝a＋ b a＋a＋b b＝2＋〔b a＋a b〕≥2＋2＝4〔当且仅当 a＝b＝1 2取等号 〕．答案： B 9．已知不等式〔x＋y〕〔1 x＋a y〕≥9 对任意正实数x,y 恒成立,就正实数a 的最小值为〕 A．8 B． 6C．4 D ．2 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解读： 〔x＋y〕〔1 x＋a y〕＝1＋a·x y＋ y x＋a≥a＋1＋2 a·x y· y x＝ a＋2 a＋ 1,当且仅当 a·x y＝y x等号成立,所以 〔 a〕 2＋2 a＋1≥9,即 〔 a〕 2＋2 a－8≥0,得 a≥ 2 或 a≤－4〔舍〕,所以 a≥4,即 a 的最小值为 4. 答案： C 10．设 a、b 是正实数, 以下不等式① ab> 2aba＋b；② a>|a－ b|－ b；③ a 2＋ b 2>4ab－3b 2；④ ab＋ 2 ab>2 恒成立的序号为 〔 〕 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解读： ∵ a、b 是正实数, ∴① a＋b≥2 ab. 1≥2 ab a＋b.ab≥2ab . a＋ b当且仅当 a＝b时取等号, ∴① 不恒成立； ②a＋b>|a－b|. a>|a－b|－b 恒成立；名师归纳总结 ③a2＋b 2－4ab＋3b 2＝〔a－2b〕2≥0,当 a＝2b时,取等号, ∴③ 不恒成立；第 4 页,共 9 页④ab＋2 ab≥2 ab·2 ab＝2 2>2 恒成立． 答案： D 11.如 a 是2－ b与2＋b 的等比中项,就2ab 的最大值为 〔|a|＋|b|〕 A.2B．1C. 2 4 D.22解读： ∵a 是2－b与2＋b 的等比中项, ∴a2＝2－b 2. a 2＋b 2＝2. 依据基本不等式知2ab ≤2|a| ·|b|≤|a|＋|b| |a|＋|b|a 2＋ b 2＝1.即2ab 的最大值为|a|＋|b|1.答案： B 212．如 a,b 是正常数, a≠ b,x,y∈〔0,＋∞ 〕,就2 2 2a x＋b y≥〔a＋b〕,当且仅当a x＝b y时取等号．利用以上结论,函数f〔x〕＝2 x＋ 9 1－2x〔x∈〔0,1 2〕〕取得最小值时x 的值为〔〕 A． 1 B.1 5C．2 D. 12 2解读： 由a x＋b y≥ 2 〔a＋b〕 2 得, f〔x〕＝2 2x＋ 2 3 ≥1－2x 2 〔2＋ 3〕 ＝25. 2x＋ 〔1－2x〕x＋y当且仅当2 2x＝3 时取等号,即当1－ 2xx＝1 5时 f〔x〕取得最小值25.答案： B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题：13．点 〔3,1〕和〔－4,6〕在直线 3x－ 2y＋a＝0 的两侧,就a 的取值范畴是 ________． 解读： 点〔3,1〕和〔－4,6〕在直线 3x－2y＋a＝0 的两侧, 说明将这两点坐标代入 3x－ 2y＋a 后,符号相反, 所以 〔9－2＋a〕〔－ 12－12＋a〕＜0,解之得－ 7＜a＜24.答案： 〔－7,24〕 14. 设 m 为实数, x－2y＋5≥0如〔x,y〕3－x≥ 0. {〔x,y〕|x 2＋ y 2≤25}, mx＋y≥0 就 m 的取值范畴是 ____________．解读： 由题意知,可行域应在圆内,如图：假如－ m>0,就可行域取到 故－ m≤0,即 m≥0. x＜－ 5 的点,不能在圆内；当 mx＋ y＝0 绕坐标原点旋转时,直线过 B 点时为边界位置．此时－ m＝－4 3,∴ m＝4 3.∴0≤m≤4 3.答案： 0≤m≤415．〔2022 ·太原模拟 〕如直线 ax－by＋2＝0〔a>0,b>0〕和函数 f〔x〕＝a x＋1＋1〔a>0 且 a≠ 1〕的图象恒过同一个定点,就当 a＋1 b取最小值时,函数 f〔x〕的解读式是 ________．解读： 函数 f〔x〕＝a x＋ 1＋1 的图象恒过 〔－ 1,2〕,故 1 2a＋ b＝1,a＋1 b＝〔1 2a＋b〕〔 a＋1 b〕＝3 2＋b a＋ a 2b≥3 2＋ 2.当且仅当 b＝ 2 a 时取等号,将 2b＝ 2 a 代入 2 12a＋b＝1 得 a＝2 2－2,故 f〔x〕＝〔2 2－2〕 x＋1＋1. 答案： f〔x〕＝〔2 2－2〕 x＋1＋1 16．已知关于 x 的不等式 2x＋x－a≥7 在 x∈〔a,＋∞ 〕上恒成立,就实数 2 a 的最小值为 ________．名师归纳总结 解读： 由于 x>a,所以 2x＋2 ＝2〔x－a〕＋x－a2 ＋ 2a≥2 x－a2〔x－a〕 ·2 ＋2a x－ a第 5 页,共 9 页＝2a＋ 4,即 2a＋4≥7,所以 a≥3 2,即 a 的最小值为 3 2.答案：32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题：x＋2y≤4,17．已知关于x、y 的二元一次不等式组x－y≤1,x＋2≥0.〔1〕求函数 u＝3x－y 的最大值和最小值；〔2〕求。