2024年高考数学一轮复习 集合与常用逻辑用语（解析版）.pdf

专题0 1 集合与常用逻辑用语一 知识速览1、集合中元素的性质知识点2集合之间的基本关系知识点1集合与元素2、元素与集合的关系3、集合的表示方法4、常见数集的记法与关系图子集、真子集、相等、空集集合与常用逻辑用语知识点3集合的基本运算，1、集合交用卜运算的表示-Q 2、集合运算中的常用二级结论知识点5全称量词与存在量词知识点4充分条件与必要条件 1、充刖与牛-2、充要条件1、全称量词与全称量词命题2、存在量词与存在量词命题3、命题的否定二 考点速览知识旅理知 识 点1集合与元素1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e 或 e 表示3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法4、常见数集的记法与关系图知识点2集合间的基本关系集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*（或 N+）ZQR知识点3集合的基本运算表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B 的元 素(尤e A贝！jX GB)A q 3或3卫AO或真子集集合A是集合B 的子集且集合B中至少有一个元素不属于AAUB或BVA相等集合A,B的元素完全相同A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合4的子集01、集合交并补运算的表示2、集合运算中的常用二级结论集合的并集集合的交集集合的补集图形语言u 符号语言A B=G A,eA B=|x|x G A,SJC Ge A=何 w U,Mx w A(1)并集的性质：A U 0 =A;AUA=A；AUB=BUA；=(2)交集的性质：A f l0 =0 ；AAA=A；AHBBHA；=(3)补集的性质：4 5%)=。

)=0.=MAU8)=()；u(An8)=(uA)uQ B).知识点4充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件“若 P,则/为真命题“若 P，则 为 假 命 题推出关系p*q条件关系P 是 4 的充分条件q是P 的必要条件P 不是9 的充分条件q 不是p 的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件2、充要条件(1)充要条件的定义如 果 喏 p，则如和它的逆命题“若 乡，则，均为真命题，即既有 n q，又有“=0，就记作p o q此 时，p既是9 的充分条件，也是9 的必要条件，我们说，是 q 的充分必要条件，简称充要条件2)充要条件的含义若夕是4 的充要条件，则 4 也是夕的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同3)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当成 立，或 p 与 4 等价知识点5全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表 示.【注意】(1 )全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.符号表示：通 常，将含有变量x 的语句用p(x),q(x),r(x)，表 示,变量x 的取值范围用V 表示，那 么，全称量词命题“对 M 中任意一个x,2(x)成立”可用符号简记为【注意】(1 )从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行二2、存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号 h 表 示.【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x，使 p(x)成立 可用符号简记为【注意】(1 )从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题3、命题的否定：对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作“土”，读作 非 或p 的否定.(1)全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“五 6 山(耳”的否定是存在量词命题：3X EM,(X).（2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“七：6 河 心（九）”的否定是全称量词命题：/x&M q（x）（3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.（4）常见正面词语的否定：正面词语等 于（=）大 于（）小 于（）是都是否定不等式（丰）不大于（）不小于（）不是不都是正面词语至多有一个至少有一任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个方法技巧一、子集的个数问题如果集合A 中含有n 个元素，则有（1）A 的子集的个数有2个.（2）A 的非空子集的个数有21 个.（3）A 的真子集的个数有21 个（4）A 的非空真子集的个数有22 个.【典 例 1】（2023重庆校联考三模）数集123,4,5的非空真子集个数为（）A.32 B.31 C.30 D.29【答案】C【解析】因为集合123,4,5中含有5个元素，所以集合1,2,3,4,5的非空真子集个数为25-2=30.故选：C【典例2】（2023.福建泉州.泉州五中校考模拟预测）若集合A=无|ln尤 l,x eN*,集合8=x|x 2-6 x-7 0 ,则 的 子 集 个 数 为（）A.5 B.6 C.16 D.32【答案】C【解析】由lnxl得了 e,所以A=x|x e,xeN*,解不等式一 一 6彳 一 70得 5 =x|lx7,所以A B=3,4,5,6 ,所 以 的 子 集 个 数 为 24=16.故选：C二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.【典 例 1】（2022秋 广东广州高三校联考阶段练习）已知集合A=a-2,+4a,12,且-3 e A,则。

等于（）A.-3 或-1 B.-1 C.3 D.-3【答案】D【解析】因为 3 e A,当2 =3,得1,则 4 =-3,12,不合题意，故舍去.当 2+4a=3,故一1（舍去）或 a=3,此时 A=5,3,12,满足.故选：D【典例2】（2022秋陕西商洛高三陕西省山阳中学校联考期中）设集合A=0,1,4,若 q-l e A,则实数a=.【答案】2【解析】当a-1=0 时,a=l,此时4 =0,1,1,不符合条件；当a-1=1时,2,此时-=0,1,4,符合条件;若 4-1=,即“2_ +1=0,无实根，不符合条件.所以a=2.故答案为：2.三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若 A 7 B ,且 A 中含参数应考虑参数使该集合为,空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.【典 例 1】（2023全国模拟预测）设集合4=闻1）（尤-3）40,8=x|a-5 x 若 A g B,则实数a的取值范围是（）A.3,4 B.（3,4）C.（-8,4 D.3,+oo）【答案】B【解析】由已知可得，集合4 =N-lxV 3,8=x|a-5 x 3因为A g B,所以 ,（注意端点值是否能取到），a-5 -1解得3 。

4,故选：B.【典例2】（2023全国高三专题练习）（多选）已知集合B=xa x+l=0,且 加 A,则实数a 的取值可能为（）A.-3 B.-2 C.0 D.3【答案】BCD【解析】由题知 2=4 B=xax+=Q,A=所以 8=10,-；，f,O.当 2=,一；*卜寸，此种情况不可能，所以舍去；当2=-孑 时，一 5+1=0,解得a=3；当 2=：时，11=，解得”=-2；2 2当 B=时，a=0.综上可得实数的可能取值为3,0,2.故选：BCD.四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=；（2）千万不要忘记考虑空集典例 1（2023 海南海口校联考一模）已知集合A=xx2-2 x-3 0 1,B=（x|-l x TW，若 A B=A,则实数加的取值范围为（）A.（-3,+oo）B.（-,-3 C.3,+oo）D.（-1,3【答案】B【解析】解不等式，-2X-3 0,得 1 X3,于是A=（T,3）,而 3 =（-1,T），因为AI B=A,则因此一加2 3,解得力z4 3,所以实数加的取值范围为（-8,-3.故选：B【典例2】（2023.河南开封开封高中校考模拟预测）设集合A=x|x 4 B.a 1 或。

24 C.a 4【答案】B【解析】由集合A=T X2或X N 4,得 A=x24x4,又集合 8 =x|aVxW a+1且&A）B =0,贝!J a+l 2 或a 2 4,即a l 或 aN 4.故选：B.五、利用充分必要条件求参数的策略1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍典 例 1】（2023全国高三专题练习）已知集合A=-2,5,Bm+1,2m-l.若“无e B”是“x e A”的充分不必要条件，则机的取值范围是（）A.（-,3 B.（2,3 C.0 D.2,3【答案】B【解析】若“x e B”是“x e A”的充分不必要条件，则8 A,m+1 2m-1所以，加+1 1 2 ,解得2 /4 3,即机的取值范围是（2,3.故选：B.2 m-1 3（尤-”是“4：1+3 了-4 4 0”成立的必要不充分条件，则实数机的取值范围为（）A.f-7）1（1*）B.1,+）C.（-7,1）D.-7,1【答案】A【解析】由（x-，w）2 3（x-w?）得：x 3+m,所以 P：x3+加；由尤2+3X-4 4 0 得：-4 x 1,所以q:-4 4 x 4 1.因为p 是 9 的必要不充分条件，即q n p 且。

4 Q,所以x|-4*xW l是xx 3 +加 的真子集,所以切 1或 2+3 1或根 0=无 2 或 x JX2-2X-3 =（X-1）2-4 0,.B=y|y 0,故（6 人 73=|-2,+co）.故选：B【典 例 2】（2023黑龙江哈尔滨 哈师大附中校考模拟预测）已知集合A=（x,v）|y=x3,B=（x,y）y=4无,则 A B=（）A.-2,0,2 B.（0,0）C.（0,0）,（2,8）D.（-2,-8）,（0,0）,（2,8）【答案】Dy=x3 jx=2 元=0 fx=2【解析】解 方 程 组”，可得或 c 或y=4 尤 y=-8 y=0 y=8又因为&=（尤，刈丫=/,8 =（无，切 尸 旬，则 A 3=（-2,-8）,（0,0）,（2,8）.故选：D.易错点2忽 视（漏）空集导致错误点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解典 例 1】（2023.全国高三专题练习）已知集合。