最新3导数的应用汇总.docx

3导数的应用精品资料第三章导数的应用仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢#本章知识结构导图§3.1 数学家的故事：法国最有成就的数学家一拉格朗日 （Lagrange）拉格朗日,法国数学家、物理学家及天文学家 .1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1755年19岁的他就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授；1766年应德国的普鲁士王腓特烈的邀请去了柏林，不久便成为柏林科学院通讯院院士 ，在那里他居住了达二十年之久；1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎，其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授 ；最后于1813年4月10日在巴黎逝世.拉格朗日一生的科学研究所涉及的数学领域极其广泛 .如：他在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法 ，为变分法奠定了理论基础；他完成的《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系；他的两篇著名的论文：《关于解数值方 程》和《关于方程的代数解法的研究》 ，总结出一套标准方法即把方程化为低一次的方程（辅助方程或预解式）以求解，但这并不适用于五次方程；然而他的思想已蕴含着群论思想 ，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导 ；在数论方面，他也显示出非凡的才能，费马所提出的许多问题都被他一一解答，他还证明了圆周率的无理性 ，这些研究成果丰富了数论的内容 他的巨著《解析函数论》，为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试 ，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量 ，并想由此出发建立全部分析学；另外他用哥级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响 ，成为实变函数论的起点；而且，他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释 ，提出线性变换的特征值概念等 .数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作 ，为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一 ^拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关.他是分析力学的创立者，为把力 学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路 ；他用自己在分析力学中的原理和公式 ，建立起各类天体的运动方程，他对三体问题的求解方法、对流体运动的理论等都有重要贡 献，他还研究了彗星和小行星的摄动问题 ，提出了彗星起源假说等.在上一章我们从实际问题中引出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法.本章我们利用导数知识来研究函数及其图形的性态 ，并利用这些知识解决一些 实际问题.为此先介绍微分学的几个中值定理，它们是导数应用的理论基础.电.2微分中值定理与洛必达法则一、罗尔(Rolle)定理【定理1】 设函数？Skip Record If...? 满足条件：(1)在闭区间？Skip Record If...? 上连续，(2)在开区间？Skip Record If...? 内可导，(3) ?Skip Record If...? ,则至少存在一点？Skip Record If...? ,使得？Skip Record If...? (证略)下面来考察一下罗尔定理的几何意义：图3.1如图3.1所示，若在闭区间？Skip Record If...? 上的连续曲线？SkipRecord If...?,其上每一点(除端点外)处都有不垂直于 ？Skip RecordIf...? 轴的切线，且两个端点？Skip Record If...? 、?Skip Record If...? 的纵坐标相等，那么曲线？Skip Record If...? 上至少存在一点？Skip RecordIf...?,使曲线在点？Skip Record If...? 处的切线与？Skip Record If...? 轴平行，即导数为零.事实上，由于闭区间？Skip Record If...? 上的连续函数？Skip RecordIf...? 一定存在最大值与最小值,以上点？Skip Record If...? 就是该曲线的最大值或最小值处.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理罗尔定理中的第三个条件？Skip Record If...? 相当特殊，如果去掉这个条件而保留其余两个条件，可以得到一个在微分学中十分重要的拉格朗日中值定 理.【定理2] 若函数？Skip Record If...? 满足条件：(1)在闭区间？Skip Record If...? 上连续，(2)在开区间？Skip Record If...? 内可导，则至少存在一点？Skip Record If...? ,使？Skip Record If...? .下面来考察一下拉格朗日中值定理的几何意义：如图3.2所示，若在闭区间？Skip Record If...? 上的连续曲线？SkipRecord If...?,其上每一点（除端点外）处都有不垂直于 ？Skip RecordIf...? 轴的切线，那么曲线？Skip Record If...? 上至少存在一点？Skip RecordIf... ?,使曲线在点？Skip Record If...? 处的切线与弦？Skip Record If...?平行.图3.2【证明】 引入一个辅助函数？Skip Record If...? ,显然？Skip RecordIf...? 在？Skip Record If...? 上连续，在？Skip Record If...? 内可导，且?Skip Record If...? ,?Skip Record If...? ,所以？Skip Record If...? ,于是函数？Skip RecordIf...? 满足罗尔定理中的三个条件，所以至少存在一点？Skip Record If...? ,使得？Skip Record If...? ,即?Skip Record If...? =?Skip Record If...? .对于拉格朗日中值定理的结论，若令？Skip Record If...? ,则？SkipRecord If...?.故罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况 .作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们来导出下面两个十分有用的推论.【推论 1】 如果在？Skip Record If...? 内，函数？Skip Record If...? 导数恒等于？Skip Record If...? ,则在？Skip Record If...? 内？Skip RecordIf...? 为常数.【证明】 任意取？Skip Record If...?,由拉格朗日中值定理有?Skip Record If...?, 而？Skip Record If...?,故？Skip Record If...?,即?Skip Record If...?,这表明在？SkipRecord If...?内？Skip Record If...?为常数.【推论 2】 如果在？Skip Record If...? 内，有？Skip Record If...? ，贝U?Skip Record If...?和？Skip Record If...?至多相差一个常数，即?Skip Record If...? ( ?Skip Record If...?为常数).【证明】 因？Skip Record If...?,所以？Skip Record If...?,由推论 1 知，?SkipRecord If...?.三、柯西(Cauchy^中值定理【定理 3】 如果函数？Skip Record If...?, ?Skip Record If...?满足条件：(1)在？Skip Record If...?上连续,(2)在？Skip Record If...? 内可导，(3) ?Skip Record If...?,则至少存在一点？Skip Record If...? ,使得?Skip Record If...?.证略.柯西中值定理中的？Skip Record If...?时，就变成拉格朗日中值定理，所以柯 西中值定理是更一般的定理.【例 11 证明当？Skip Record If...?时,?Skip Record If...?.【证明】 设？Skip Record If...?,在？Skip Record If...?上,?Skip Record If...?满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在一点？Skip Record If...? ,使得？SkipRecord If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?,即?Skip Record If...?,所以精品资料?Skip Record If...?.【例 2】 证明？Skip Record If...?.【证明】 设？Skip Record If...?,贝 U?Skip Record If…？？Skip Record If...?,所以？Skip Record If...?,令？Skip Record If...?,则?Skip Record If...?,所以?Skip Record If...?.四、洛必达法则在函数的极限运算中我们碰到过下面两种情况 ，即当？Skip Record If...?或(?Skip Record If...?)时？Skip Record If...?与？Skip Record If...?都趋向于?SkipRecord If...?或趋向于？Skip Record If...?,此时极限？Skip Record If...?可能存在,也 可能不存在，称这种极限形式为未定型，并分别简记为?Skip Record If...?型或 ?Skip Record If...?型.对于这种形式的极限不能直接运用极限四则运算的法则 .本节介绍一种求此两类极限简便且重要的方法，即所谓的洛必达法则.1. ?Skip Record If...?为？Skip Record If... ?型时我们着重讨论?Skip Record If...?时的未定型情形,?Skip Record If...?时的情 形类似可得.【定理 4】 设(1) ?Skip Record If...?;(2)在？Skip Record If...?的某邻域内(点?Skip Record If...?可除外),?Skip Record If...?与?Skip Record If...?都存在，且？Skip Record If...?;(3) ?Skip Record If...?(或？Skip Record If...?),则有?Skip Record If...?(或？Skip Record If...?).这种求极限的法则就称为洛必达法则,其具体思想是：当极限？Skip Record If...?为？Skip Record If...?型时，可以对分子分母分别求导数后再求极限 ?SkipRecord If...?,若这种形式的极限存在，则此极限值就是所要求的.【证明】 由于求极限？Skip Record If...?与值？Skip Record If...?, ?SkipRecord If...?无关，故不妨设？Skip Record If...?,由条件(1)与(2)知：?Skip Record If...?与?Skip Record If...?在点？Skip 。