四边形的证明与计算（解析版）-2024年中考数学题型归纳与变式演练（全国卷）.pdf

专题0 4四边形的证明与计算目录题型0 1 四边形与全等.题型0 2 四边形与相似.题型0 3 四边形边角计算.中考练场.热点题型归纳题型0 1 四边形与全等【解 题策略】六个全等模型幺ZI1直2两手拉手模型第 1 页 共 5 1 页【典例分析】例 1.（2023内蒙古 中考真题）如图，在菱形4 3 c o 中，对角线AC,8相交于点分别是边B C,线段0上的点，连接ARORA尸 与 相 交 于 点 E.（1汝口图1,连接Q A.当QA=Q尸时，试判断点是否段P C 的垂直平分线上，并说明理由；（2）如图 2,若/A P3=90且4L4P=/4D B,求证：A E =2 E P；当OQ=OE时，设 即=*求PQ的 长（用含0 的代数式表示）.【答案】（1）点段P C 的垂直平分线上证明见解析，2缶【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）根据菱形的性质得出筋=3加，再由各角之间的关系得出Z BAP=Z A B D =Z C B D =30,由含30度角的直角三角形的性质求解即可；连接Q C.利用等边三角形的判定和性质得 出 钻=2再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.【详解】（1）解：如图，点2 段P C 的垂直平分线上.理由如下：连接QC.四边形ABCD是菱形，对角线A C 3D 相交于点。

第 2 页 共 5 1 页：.BDAC,OA=OC:.QA=QC.QA=QP,：.QC=QP,，点段PC 的垂直平分线上.（2）证明：如图，.四 边 形 是 菱 形,/.AB=BC=CD=D A,：.ZABD=ZADB,ZCBD=ZCDB,B D LA C,：.ZADO=ZCDO,:.ZABD=ZCBD=ZADO.ZBAP=ZADB,:.ZBAP=ZABD=ZC BD.AE=BE,ZAPB=90,:.ZBAP+ZABP=90,:.ZBAP=ZABD=ZCBD=30.在 RtABPE 中，/EPB=90,/PBE=30,第3页 共5 1页:.EP=-BE.2AE=BE.:.EP=-A E,2:.AE=2EP；如图，连接AB=BC,ZABC=60,.ABC是等边三角形.ZAPB=90,：.BP=CP,EP=a,AE=2a,AP=3a在 Rt AP5 中，ZAPB=90,/tanZABP=,BP 3BP=yfici.CP=BP=y3aAO=CO9 AOE=ZCOQ,OE=OQ,.,.AOE 之COAE=CQ=2a,/EAO=ZQCO.第4页 共5 1页A E/C Q,NAPB=90ZQCP=90.在 Rt/XPCQ 中，ZQCP=90,由勾股定理得PQ2=PC2+CQ2,PQ2=(73a)2+(2a)2=7a2PQ=币a.A【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.例 2.（2023黑龙江哈尔滨中考真题）已知四边形A3C。

是平行四边形，点E 在对角线上，点/在 边 8C 上，连接AE,EF,DE=BF,BE=BC.图 图（1）如图，求证AED丝EFB;（2）如图，A B =AD,A E E D,过点C 作 C H AE交 班 于 点 H,在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图中四个角（4 4 E 除外），使写出的每个角都与，54E 相等.【答案】见解析；（2），aE4=/E F C =，O C =/O H C =/5 4 E,理由见解析.第 5 页 共 5 1 页【分析】（1）由平行四边形的性质得ADuBCuBE,B C/A D,进而有NADE=NEBB,从而利用SAS即可证明结论成立；（2）先证四边形A3CD是菱形，得AS=3C=3E=CD=AD,又 证ABE芬CDH（AAS）,得 NBAE=/D CH =NBEA=/D H C,由（1）得，AED 乌 EFB（SAS）得 ZAED=/EFB,根据等角的补角相等即可证明.【详解】（1）证明：二四边形A8CD是平行四边形，BE=BC：.AD=BC=BE,BC/AD,：.ZADEZEBF,：DE=BF,ZADE=ZEBF,AD=BE.一 AED q EFB（SAS）；（2）解:/BEA=/E FC =NDCH=NDHC=NBAE,理由如下：AB=AD,四边形ABC。

是平行四边形，四边形ABC是菱形，BC/AD,AB CD：.AB=BC=BE=CD=AD,ZADE=NEBF,NABE=/C D H,：.ZBEA=ZBAE,：CH/AE,:.NBEA=/D H C,ABE q CDH（AAS）,：.ZBAE=NDCH=BEA=NDHC,由（1）得，AED 当 EFB（SAS）,ZAED=ZEFB,/A E D+NBEA=NEFB+NEFC=180,，/BEA=/EFC =NDCH=NDHC=ZBAE.第6页 共5 1页ADHe1 J_TF图【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等.熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.【变 式演练】1.(2023北京海淀一模)如图，正方形A3CD中，点E,尸分别在5 c CD h,BE=CF,AE,B F交于点 G；(1)ZAGF=.(2)段AG上截取MG=3 G,连接OM,NAGF的角平分线交D M 于点N.依题意补全图形；用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.【答案】(1)90见解析；MN=ND【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线.(1)通过证明 A B E BCF(SAS),得出 NBAE=NCBF,根据 NB4E+NAB=90。

得出ZCBF+ZAEB 9 0 ,即可解答；(2)根据题意补全图形即可;过点A 作A”交GN延长线于点打,连接)，先证明,54G 丝AD A H(S A S),得出 3G=D 8,/A H D =/A G 3=90贝 l|第7页 共5 1页GM=DH,NDMV=NNGM=45再证明 HND G W（AAS）,即可得出结论W=ND.【详解】解：,四边形ABC为正方形,AB=BC,ZABE=/B C F =90,在4A既 和 BCF中，AB=BC ZABE=ZBCF,BE=CF ，ABE.,SCF（SAS）,NBAE=NCBF,：ZBAE+ZAB=90,ZCBF-ZAEB=90,：.NBGE=9UNAG尸=90故答案为：90.（2）解：根据题意补全图形如图所示：证明：过点A 作 A H LA E,AH交GN延 长 线 于 点 连 接V ZAGF=90,GN 平 分 AAGF,：.ZAGN=-ZAGF=45,2,:AH.LAE,第8页 共5 1页ZGAH=90,：.ZAHG=ZAGH=45,：.AG=AH,四边形ABC为正方形，ZBAD=90,AB=AD,：ZGAH=90,：.ZBAG=ZDAH fV AG=AH,NBAG=/DAH,AB=AD,：._BAG均DAH(SAS),：.BG=DH,ZAHD=ZAGB=90,:BG=GM,ZAHG=45。

GM=DH,/DHN=ZNGM=45,.ZDHN=/NGM,/DNH=/MNG,GM=DH,A HNDGNM(AAS),：.MN=ND.2.（2023山东泰安三模）已知如图1,为正方形ABC的 边 上 任 意 一 点，BEJ.AP于点、E,在AP的延长线上取点尸，使EF=A E,连接NC5厂的平分线交AF于点G.第 9 页 共 5 1 页图1图2求证：BF=BC；(2)求证：3EG是等腰直角三角形；(3)如图2,若正方形ABC的边长为4,连接C F,当尸点为8 C 的中点时，求 C F 的长.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 警【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；(2)想办法证明 ZF=Z&4F=Z B P,由 NEBG=NEBP+NPBG,ZEGB=ZF+ZGBF,即可解决问题；(3)等面积法求出3 E,证 明 CBG当RBG(SAS)得到CG=F G,证明EBPgAGCP,即可推出CG=3E,NCGP=NBEP=90由此即可解决问题.【详解】(1)证明：Q B E L A F,AE=EF,二.3E 是线段AF的垂直平分线，:.AB=BF,四边形ABCO是正方形，:.AB=BC,：.BF=BC.(2)证明：-四边形ABCD是正方形，第 1 0 页 共 5 1 页/.ZABC=90,:.ZABE+ZEBP=90,QBELAF,:.ZABE+NBAP=90。

ZBAP=/EBP,AB=BF,:.ZBAP=ZBFP,:.ZEBP=ZBFPfZCBF的平分线交于G,:.NCBG=NFBG,/./EBP+/CBG=/BFP+/FBG,:.ZEBG=ZEGB,又 QBE _L AT,.BEG是等腰直角三角形.(3)解：连接CG.D图2尸是中点，正方形的边长为4,.AB=4,BP=CP=2,在Rt A&P 中，AP=dBy+AB?=1*+毕=2小，第1 1页 共5 1页BE 上 AP,S.p =2y/5 x BE=x 4x2,.R F_4A/55AB=B C,AB=B F,:.BC=B F,/C BG =NFBG,BG=BG,/.CBGm FBG(SAS),:.ZBFP=/B C G,CG=FG,由(2)可知 NEBP=ZBFP,:./E B P =/B C G,/EPB=/C P G,.-GC尸(ASA),.CG=FG=BE=型,NCGP=NBEP=9Q5NCG尸=90CF=y/CG2+FG2故答案为：生地.5【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.3.(2022 湖南长沙三模)如图，在，ABC和一。

CB中，A B D C,AC=DB,A C与DB交于点M.第1 2页 共5 1页MD(1)求证：A B C-D C B；(2)将BMC关于BC所在直线翻折，得 到 B N C,试判断四边形3NCM 的形状，并证明你的结论；若 AC平分/B C D,DM=1,BM=2,求 BC的长.【答案】见解析(2)四边形BNCN的形状为菱形；理由见解析(3)BC=2A/3【分析】(1)根据SSS直接证明ABCZADCB；(2)根据ABC四OCB,可得ZACB=NDBC,进而可得BM=CM,根据翻折的性质可得：BM=B N,CM=CN,即可得出结论；(3)连接MN交 8 C 于点0,过点M 作MH LC D 交 CO的延长线于点H.利用面积法证明BC=2 C D,再利用全等三角形的性质证明NCDM=90再利用勾股定理求出8 即可.【详解】(1)证明：如图，在.ABC和DCB中，AB=DCAC D B,BC=CB.AABCADCB(SSS)；(2)四边形3NCM的形状为菱形；理由如下：ABC会 DCB,:.ZACB=ZDBC,:.BM=CM,第 1 3 页 共 5 1 页根据翻折的性质可得：BM=BN,CM=CN:.BM=BN=CN=CM,四边形3NCN为菱形（3）如图，连 接 交 3 c 于点。

过点M 作MH LC D 交 8 的延长线于点H.四 边 形 是 菱 形，MN 1CB,AC 平分 ZBCD,MH LCD,MO=MH,0-CDxMH 1S 7 DM 1-=4-=-,:.BC=2CD,S CBM-CBxMO B M 22OB=OC,:.CO=CD,ZMCO=ZMCD,CM=CM,M C g MCD(S A S),:.ZMOC=ZCDM=90,即点点/重合，:.MO=MD=,OB=lBM2 MO2=A/22 I2=+,BC=2【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理,。