2021年第八讲___三共定理之共边定理.docx

景中训练数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义第八讲 “三共定理”——共边定理【学习目标】. 通过探究共边定理，并进一步把握运用共高定理求面积比；. 懂得共边定理；. 进一步应用共边定懂得决与面积比，线段比的问题，提高解决问题才能；新知 探究共边定理第 5 页 共 5 页问题回忆： 在上一讲中， 我们留下了一道习题： 如图 AB、PQ 相交于 M ；求证：S APQ AMS BPQ BM在这道题目中， Δ APQ 和Δ BPQ没有共同的高，你能求它们的面积比吗？假如不能， 我们先放一放，先观看下面四组图形：它们有什么共同的特点？在上面四组图中：它们都有一条公共边 AB 的两个三角形，这样的两个三角形叫做 共边三角形；【摸索】： 假如过共边三角形Δ ABM、Δ ABN 的顶点 M、N 作直线，与公共边相交于点 P，那么共边三角形的面积比与PM 有何关系？如下图：PN通过猜想，可以把这个事实概括为一个重要的结论： 共边定理共边定理 ：如两直线 AB、MN相交于点 P，就有S ABM MPS ABN NP我们如何来证明这个定理呢？【分析】 我们以第一种情形来加以证明；如图：方法 1： Δ ABM、Δ ABN 虽有公共的边 AB，但没有公共的高， 不能直接应用共高定理； 但是图中显现许多的三角形中， 显现了一条共高三角形的关系链：Δ ABM—Δ BPM—Δ BPN—Δ ABN；在这些三角弄散中，前者与相邻的后者是两个共高三角形；如下图：证明： 由已知，依据共高定理分别可得：S ABM AB①S BPM PBS BPM MP②S BPN NPS BPN PB③S ABN AB把① 、 ② 、③ 三式左右两边分别相乘，可得：S ABMS BPMS BPMS BPNS BPNS ABNAB MP PB MP PB NP AB NPS ABM即S ABNAB MP PB MP PB NP AB NPS ABM MP∴S ABN NP方法 2：这种方法表达更简洁，学习程度较好的同学可以阅读参考；证明： 由共高定理可得：S ABMS ABNS ABMS BPMS BPMS BPNS BPNS ABNAB MP PB MP PB NP AB NPS ABM MP即：S ABN NP方法 3：证明： 如图，延长 PB 至点 Q，使 PQ=AB，连接 MQ、 NQ；由共高定理可得：S ABM SPQM ； SABN SPQN ；S PQM MPS PQN NP∴ S ABMS PQM MPS ABNS PQN NPS ABM MP即S ABN NP想一想： 其它三种情形的共边三角形，你能否用上述三种方法一一证明？试试看！【实践练习 1】如下图，依据给的条件填空：S ABE①S ABCS ABD； ② ；S BDCS ABE③S BDES ABD AE；④ ⑤ ；S DEC FE【实践练习 2】如下图， AB∥ CD，AC、BD 相交于点 O，且 AB=5，CD=3；求AO 的值是多少？CO【学问应用探究】题型 I 共边定理的应用【例 1】如图，已知四边形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC、BD 相交于点 O；AO DO求证：OC OB方法一： 利用共高定理可证证明： ∵ AD∥ BC，∴ S ABC SBDC （共高定理）∴ S ABCS BOCS BDCS BOC 即 SAOB SDOC又∵ SSAOD DOCAO ；OCS AODS AOBDO （共高定理）OBAO DO∴OC OB方法二： 利用共边定理可证证明： ∵ AD∥ BC，∴ S ABD SADC， S ABC SBDC （共高定理）又∵ S ABDS BDCAO S；OC SADC ABCDO（共边定理）OBAO DO∴OC OB留意： 此题仍可以用今后学习的相像形进行证明【例 2】如图，在Δ ABC中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， BE、CD 相交于点 O，DO求证：OC1 EO 1，2 BO 2证明： 连接 DE∵ ADDB AEEC （已知）即 AD∴ S BDEDB 1 AB21S ABE S2AEABEEC S BCE1 AC2（共高定理）∴ S BDE1 SS BCE 即2 SBDE 1BCE 2又∵Δ BDE和Δ BCE有公共边 BE∴ S BDES BCEDO 1 即 DOOC 2 OCEO 11（共边定理）2同理可得：BO 2说明：此题同样仍可以用今后学习的共角定理、正弦定理、相像形进行证明，【重要结论】1、连接三角形顶点和对边中点的线段叫三角形的中线，三角形三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心；2、三角形重心定理： 三角形的重心分每一条中线为一比二的两部分；3、如图，在 △ ABC中， O 是中线 BE、CD 的交点；就点 O 是△ ABC的重心DO 1 EO 1那么 ， ．OC 2 BO 2【例 3】如图， AB∥ PQ，直线 PA 和 QB 交于点 R， PB 和 QA 交于点 S， RS和 PQ 交于点 M ， 如已知 PQ=10，求 PM 等于多少？解： ∵ AB∥ PQ∴ S PAB SQAB由共边定理可得：PM SPRSS PRS . SPSQRB . PAS RAB. S PAB 1MQ S QRSS PSQS QRSBQ ARS QABS RAB∴ PM MQPQ 52别以为这个题目简洁哦，它可曾是一道数学竞赛题呢！你阅读后有什么收成和启示？【同步提升训练】基础训练1、找找看，下图中有几对共边三角形呢？2、已知如图， AB∥ DC， AB=4， CD=8，梯形 ABCD 的面积为 36，求：Δ ABE、Δ BCE、Δ CDE、Δ DAE的面积；综合演练3、已知△ ABC是等腰三角形， D、E 分别是腰 AB及 AC的延长线上一点，且 BD=CE，连 DE交 BC于点 F. 求证： DF=EF留意：此题既可以用共角定理和共边定理证明， 又可以应用在将来的学习中的全等三角形、中位线、正弦定理等方法来进行证明 .。