高中数学课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系.ppt

1.2.2 同角三角函数的基本关系,思考：已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限，在［0,2π］内α的取值范围为______. 【解析】由题意如图， 由三角函数线可得所以 答案：,（3） 叫做 的正切，记作 ，即,三角函数的定义,A(1,0),x,y,O,P(x,y),α的终边,,M,,T,,（1）y叫做 的正弦， 记作 ，,=MP.,（2）x叫做 的余弦，记作 ，即,=OM.,=AT.,正弦线,余弦线,正切线,如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？,同角三角函数的基本关系,,,α,上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？,基本变形,当 时，根据三角函数定义,sinα，cosα，tanα满足什么关系？,基本变形,公式,已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他几个三角函数值.,sina,cosa,tana,,,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.,同角三角函数的基本关系:,“同角”两层含义:一是“角相同”,二是“任意”一个角.,判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α+cos2β=1也成立.( ) (2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立.( ) (3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α+cos2α=1也成立.( ) (4)在利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值.( ),答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×,是否存在同时满足下列三个条件的角 ?,不存在,不满足sin2α+cos2α=1,,例1.已知 ,求 的值.,解:因为 ,,所以 是第三或第四象限角.,由 得,同角三角函数的基本关系式的灵活应用,1.求值,平方关系求cosα时要注意角的范围,,从而,如果 是第三象限角,那么,如果 是第四象限角,那么,商数关系求tanα,例、已知 求sin α，tan α的值． 【解析】当α是第二象限角时，当α是第三象限角时，,已知sin α＝m(|m|＜1)，求tan α，cos α.,例,解：(1)当-1＜m＜1,m≠0时， 若α在第一、四象限， 则若α在第二、三象限，则(2)若m=0，则α=kπ(k∈Z) ， 所以tan α=0，cos α=±1．,练习已知α是第三象限角且tan α=2，求cos α的值 【解析】由tan α＝2知 则sin2α=4cos2α.又因为sin2α+cos2α=1， 所以4cos2α+cos2α=1，即 由α在第三象限知,例（1）已知 则cos α-sin α的值等于( )2.已知 求下列各式的值： (1)(2)2sin2α+sin αcos α-3cos2α.,【解析】1.选B.因为 所以2.(1)原式 (2)原式,练习：若 则tan α=( )【解析】选A. 即解得tan α=1.,例已知 求sin θ·cos θ和sin θ-cos θ的值. 【解析】因为 所以 即,所以 由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ-cos θ＞0, 所以,例（1）化简sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β＝______. （2）化简：,【解析】1.原式＝sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β =sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β =(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β=1. 答案：1 2.原式,【练习】若角α的终边落在直线x+y=0上， 则 的值等于( ) A.2 B.-2 C.1 D.0 【解析】选D. 因为α终边在直线x+y=0上, 所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号． 所以原式＝0.,例2.求证：,,2.证明三角恒等式,所以原式成立.,恒等变形的条件,所以原式成立.,证法二：,,,小结:,练习：求证：,【证明】左边所以原式成立.,练习：化简 的结果为( )【解析】选A.,练习：如果角θ满足 那么 的值是_______. 【解析】 又答案：2,1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的.,2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函数值符号．,3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.,。