一元二次方程的解法错解示例.docx

一元二次方程的解法错解示例一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数0例1 关于x的方程是一元二次方程，求k的值．错解：∵即∴＝3，＝－1.错解分析：方程（0）为一元二次方程，那个地点强调0.当＝－1时，使－1＝0，原方程是一元一次方程.正确的解法是 ∴＝3.二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数0例2 关于x的一元二次方程有实根，求的取值范畴.错解：∵方程有实根，∴≥0，即≥0，∴≥0，∴≤2.错解分析：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足＋10，即－1，因此正确解法是∴≤2且－1.三、忽视根的判别式和二次项的系数应满足的条件例3 已知关于x的方程的两根之积比两根之和的2倍小，同时两根的平方和为22，求，的值.错解：设两根分别为，，则＋＝，＝－.由题意，得　　即解得 或 错解分析：因为方程有两根，说明根的判别式≥0，即≥0，但＝7和＝－不满足，应舍去.又那个地点二次项系数＝1是已知的，解题时可不考虑，因此正确解法是再增加：当＝7，＝－时，＜0，不合题意，舍去；当＝－3，＝时，>0，∴＝－3，＝.四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情形例4 为何值时，方程只有一个实数根.错解：原方程化为.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根，错解分析：当方程的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.因此正确解法是再增加：把＝0代入，得＝l；把＝－1代入，得＝5.∴当＝，＝1，＝5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情形，忽视是一次方程时的情形例5 已知关于的方程有实根，求的取值范畴.错解：当即时，方程有实根，∴≥0且1时，方程有实根.错解分析：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情形.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，承诺它是一次方程.正确解法应增加：当－1＝O，即＝1时，方程化为，∴.∴当≥0时，方程有实根.六、不明白得一元二次方程的定义例6 方程(m－1)xm2＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.错解：由题意可得m2＋1＝2，∴m＝±1．错解分析：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数为，③整式方程．方程经整理可转化为一样形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件．正解： 由题意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1．七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆例7 用配方法求2x2－12x＋14的最小值．错解： 2x2－12x＋14＝x2－6x＋9－2＝(x－3)2－2．∴当x＝3时，原多项式的最小值是－2．错解分析： 一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数．要注意等式与代数式变形的区别．正解： 2x2－12x＋14＝2(x2－6x＋7)＝2(x2－6x＋9－2)＝2(x－3)2－4．∴当x＝3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质例8 解方程x2＝6x．错解： x2＝6x，解那个方程，得x＝6．错解分析： 本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式．正解： x2＝6x， x2－6x＝0， x(x－6)＝0，∴x1＝0，x2＝6．九、例9　关于x的方程－＝1，有一个增根为4，求k的值．1.对增根概念明白得不准确错解1：把x＝4代入原方程，得－＝1，解得 k＝－3.错解1分析：本解法错误在于对增根概念明白得不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立．实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理．2.忽略题中的隐含条件错解2：将原方程化为整式方程，得 4(x＋k)＝(x－5－k)2． (*)把x＝4代入整式方程(*)，得4(4＋k)＝(4－5－k)2．解之，得　k1＝－3，k2＝5．答：k的值为－3或5．错解2分析：本解法差不多考虑到增根的定义．增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，因此题目中的增根x＝4确信是在解整式方程(*)时产生的．将x＝4代入整式方程(*)，等式应该成立．求出k1＝－3，k2＝5，但本解法忽略了对k值的验证．将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x＝4代到原无理方程中去验证．正解：（1）将k1＝－3，x＝4代入原无理方程，左边＝ －＝1，右边＝1．左边＝右边．∴当k＝－3时，x＝4是适合原方程的根(不是增根)．（2）将k2＝5，x＝4代入原无理方程，左边＝－1，右边＝1，左边≠右边．∴当k＝5时，x＝4是原方程的增根．综上所述，原方程有一个增根为4时， k的值为5．十、忽略前提，乱套公式例10 解方程：+3x=4.错解：因为=-4×1×4=-7＜0，因此方程无解.错解分析：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一样形式a+b+c=0(a≠0).假如同学们没有明白得这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为+3-4=0.=-4×1×（-4）=25＞0.x=.即=1, =-4.十一、误用性质，导致丢根例11方程（-5）(-6)= -5的解是（ ） A.=5 B.=5或=6 C.=7 D.=5或=7错解：选C.将方程的两边同时除以-5得-6=1,解得=7.错解分析：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得（-5）(-6)-( -5)=0，因式分解得（-5）(-7)=0,解得=5，=7.十二、考虑不周，顾此失彼例12 若关于x的一元二次方程(m+1)- +-m-2=0的常数项为0，则m的值为（ ）m=-1 B.m=2 C.m=-1或m=2 D.m=1或m=-2错解：据题意可得-m-2=0，解得=-1,=2，因此选C.错解分析：错解中依照题中条件构造关于m的方程-m-2=0，以达到求m的值的目的，如此摸索并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一样形式a+b+c=0中必须有a≠0这一条件.正解：据题意可得-m-2=0，解得=-1,=2.又因为m+1≠0,故m≠-1，因此m=2，故选B.十三、一知半解，配方不当例13 解方程：-6-6=0.错解：移项，得-6=6，故（x-3）2=0解得==3.错解分析：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.因此用配方法解一元二次方程时，要正确明白得配方法的实质及解题的步骤，幸免配方不当产生错误.正解：移项，得-6=6,因此-6+9=6+9,即=15,解得=3+,=3-.十四、概念不清，导致错误例14 下列方程中，一元二次方程为 .错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4) 错解分析：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单．判定一方程是否为一元二次方程，第一看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4) 十五、忽略二次项系数a≠0导致字母系数取值范畴扩大例15 假如关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值．错解：将x＝0代入方程中，得，错解分析：由一元二次方程的定义知，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为:将代入方程中，得又因为，因此.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”差不多上对合并同类项之后而言的，导致错解例16 关于x的方程是一元二次方程的条件是什么？错解：由一元二次方程的定义知.错解分析：一元二次方程的“元”和“次”差不多上对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得，因此关于的方程是一元二次方程的条件为．十七、忽略一元二次方程有实根条件Δ≥0导致错解例17 已知,是方程的两实根，求的最大值.错解：由根与系数的关系得因此当时，有最大值19.错解分析：当时，原方程变为，现在Δ＜0，方程无实根.错因是忽略了Δ≥0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故Δ≥0，即,解得－4≤k≤－.因此当时，有最大值18.十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解例18 若,则=_________.错解：解得=4或=-2错解分析：忽视了的非负性，因此应舍去=-2.正解：4一元二次方程错解示例一、例1 已知方程有两个实数根，求ɑ 的取值范畴．错解：∵ 已知方程有两个实数根，∴≥0，即∴ a≥－.因此ɑ的取值范畴是大于或等于－的实数．错解分析：因已知方程有两个实数根，那个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数ɑ不为0 的条件，正确的结果是: ɑ≥－且ɑ≠0．二、例2 当k 为何值时，方程有实根?错解：∵ 已知方程有实根，∴ = (－2)²－4× 3 k≥0，解得k≤．又k≠0，∴ 当k≤且k≠0 时，方程kx²－2x + 3= 0 有实根．错解分析： 题目未说明已知方程为一元二次方程，当k = 0 时，方程为一元一次方程，现在有实根x=，也符合题意，正确的结果为:当k≤时，已知方程有实根．三、例3 已知关于x 的方程( m² － 1) x² －( m + 1) x + 1 = 0 的两实数根互为倒数，求m的值.错解：∵已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知，解得．经检验，它们差不多上方程的根，因此m 的值为，－．错解分析：求出的m 值需保证已知方程有两个实数根，因此m 的值除满足是解题过程中的分式方程的根外( m≠ ± 1) ，还需代入已知方程的根的判别式进行检验．实际上，当m =－时，方程为，Δ =，现在已知方程无实数根． 因此正确的结果为: m 的值是．四、例4 已知是方程的两个实数根，且，，求p，q 的值．错解：由根与系数的关系，有由得∴ p² + q = 1． ①由，得由②得p=0 或q=－1．当p=0 时，代入①得q=1．当q =－1 时，代入①得p=±．因此p，q 的值是0，1或，－1 或－，－1．错解分析：与例3 类似，当p=0，q=1 时，方程为x²+ 1 =0，现在没有实数根，正确的结果是: p，q 的值为，－1 或－，－1．。