2024年中考数学知识 三角形(解析版)(全国版).pdf

知识必备0 6三 角 形（公式、定理、结论图表）|全等三角形|一、知识梳理;考点一、三角形的边角关系三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边的之差小于第三边.三角形的内角和为180 .典 例 1:（2022毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3,7,则第三边的长可以是（）A.3 B.4 C.7 D.10【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断.【解答】解：设第三边为x,则 4 c x=180,从而可求解.解答】证明：方法一：DE夕C,AB=ABAD,ZC=ACAE,-ABAD+ABAC+ACAE=?,O,A B+A B A C+A C=1 8 0 ；方法二：.-CD/AB,A A=AACD,/LB+ABCD=ISQ,A B+A A C B+A A =180 .【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.考点二、等腰三角形1 .等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2 .性质：具有三角形的一切性质.（2）两底角相等（等边对等角）顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合（三线合一）等边三角形的各角都相等，且都等于6 0.3 .判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为6 0 的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.典 例 3：（2 0 2 2 苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰 N 3 C 是“倍长三角形，底 边 的 长 为 3,则腰N3的长为 6.【分 析】由等腰 4 8 C 是“倍长三角形，可知=或 2 C =2 4 B,若 4B=2 B C=6,可得48的长为 6；若 B C=3 =2”，因 1 6+1.5 =3,故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案.【解 答】解：.等腰A/B C 是“倍长三角形”，:.AB=2BC 或 B C =2AB,若 4B=2BC=6,则 A 8 C 三边分别是6,6,3,符合题意，.,.腰 的 长 为 6；若 3 0=3 =2/3,贝 1 /3=1.5,/2 C 三边分另11 是 1.5,1.5,3,；1 6+1.5 =3,.此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰 48的长是6,故答案为：6.【点 评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边.典例4：(2 0 2 2 温州)如图，3。

是 N B C 的角平分线，D E/BC,交 48于点E.(1 )求证：乙E B D=乙EDB.(2)当=时，请 判 断 与 的 大 小 关 系，并说明理由.【分 析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；(2)利用平行线的性质可得4A A E D,则 A D=/E,从而有C D =B E,由(1 )得，A E B D=AEDB,可知B E =及 等量代换即可.【解 答】(1)证明：.8是/B C 的角平分线，2 C B D=乙EBD,.DE/BC,：.乙 C B D=AEDB,乙 E B D=AEDB.(2)解：CD=E D,理由如下：AB=AC,ZC=乙ABC,-：DE/BC,A A D E =AC,A A E D =AABC,/_ADE=乙A E D,.t.AD=AE,CD=B E,由（1）得，乙E B D=乙EDB,，.BE=D E,：,CD=ED.【点 评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键.典 例 5：（2022鄂州）如图，在边长为6 的等边ABC中，D、E 分别为边3C、NC上的点，4 D 与 3 E 相交于点 P,若 B D=C E =2,贝 I NAP 的周长为 _4 2+1 8/7 _ 7-【分 析】根 据&4 s证得出乙/尸3=120。

在 C 2上取一点尸使尸=CE=2,则 2尸=BC-C F=4,证 A P B B F E,根据比例关系设AP=x,则/尸=2%,作 延 长 线 于 利 用 勾股定理列方程求解即可得出B P和A P的长.【解答】解：A B C是等边三角形，：.AB=B C,乙A BD=A C =60,在和BCE中，AB=BC 中，AB=AC,A D =A E,2 BAC=2 D AE=90,且点在 线 段 上，连 C E.(1 )求证：A B D*A C E；(2)若乙区4 c =6 0 ,求乙C E O 的度数.CDA【分 析】(1 )可利用SNS证明结论；(2)由全等三角形的性质可得4 4CE=4/A D,利用等腰直角三角形的性质可求得乙NCE=乙AED=45,再根据三角形的内角和定理可求解4/C 的度数，进而可求可求解【解 答】(1 )证明：,A 4c=乙八4=90,ABAC-ACAD=/.DAE-A C A D,即乙在48和/(?1中，A B=A C N B A D=/C A E，,A D=A E/A B D 4A C E (SA S(2)解：/XABD/XACE,/_ACE=乙ABD,NBC和 都 是 等 腰 直 角 三 角 形，AACE=AABD=AAED=45,V AEAC=60,AAEC=180-AACE-AEAC=180-45-60=75,Z CED=AAEC-AAED=75-45=30.【点 评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.典 例 11:(2022百色)校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形4 8 c D,其中N2=CD=2 米，4D=2C=3 米，乙2=30。

1)求证：(2)求草坪造型的面积.【分 析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案.解 答 （1 ）证明：在4 5 C 和C D/中，A B=D C,A C=A C.B C=D A AABC/XCDA（SSS）；(2)解：过 点/作 A EL5C于点,48=2 米，4 3 =30,：.AE=1 米，SBC=L 3X 1 =色(平方米)，2 2则 SCDA=春（平方米）,草坪造型的面积为：2 x 3=3 （平方米）.【点 评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.考点六、角的平分线定理角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若 CD平分心A D B,点 P 是 CD上一点，且 PELAD于点E,PFLBD于点F,贝 UPE=PF.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若P E _ L A D于点E,P F _ L B D于点F,P E =P F,则P D平分心A D B典 例1 2：已知，如图，C E A B,B D A C X B=A C,B F =C F.求证：A F为Z B A C的平分线.【答案与解析】证明：.C E 1 A B,B D 1 A C （已知）Z C D F=Z B E F =9 0 V4D F C=4 B F E（对顶角相等）B F =C F（已知）A D F C A E F B（A A S）D F =E F（全等三角形对应边相等）.F E 1 A B,F D A C （已知）.点F在aB A C的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）即A F为乙B A C的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直条件在证明结论的必要性.考点七、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.线段的垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外0.典 例1 3：如图，已知A B=A C,2 A B D=2 A C D,求证A D是线段B C的垂直平分线.【答案与解析】证明：A B=A C （已知）ZA B C=ZA C B （等边对等角）又4 A B D=4 A C D （已知）ZA B D-ZA B C =ZA C D-ZA C B （等式 性质）即 A D B C=ZD C B.-.D B=D C （等角对等边）,A B=A C （已知）D B=D C （已证）.点A和点D都段B C的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）A D是线段B C的垂直平分线。

总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了两点才确定一条直线，所以只有当AB=AC,DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线.。