第七章-线性变换-习题答案
10页1、第七章 线性变换3在中,证明:解题提示直接根据变换的定义验证即可证明 任取,则有,于是 4设是线性变换,如果,证明: 解题提示利用数学归纳法进行证明证明 当时,由于,可得,因此结论成立假设当时结论成立,即那么,当时,有,即对结论也成立从而,根据数学归纳法原理,对一切结论都成立特别提醒由可知,结论对也成立5证明:可逆映射是双射解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可证明 设是线性空间上的一个可逆变换对于任意的,如果,那么,用作用左右两边,得到,因此是单射;另外,对于任意的,存在,使得,即是满射于是是双射特别提醒由此结论可知线性空间上的可逆映射是到自身的同构 6设是线性空间的一组基,是上的线性变换,证明可逆当且仅当线性无关证法1若是可逆的线性变换,设,即而根据上一题结论可知是单射,故必有,又由于是线性无关的,因此从而线性无关反之,若是线性无关的,那么也是的一组基于是,根据教材中的定理1,存在唯一的线性变换,使得,显然,再根据教材中的定理1知,所以是可逆的证法2设在基下的矩阵为,即由教材中的定理2可知,可逆的充要条件是矩阵可逆因此,如果是可逆的,那么矩阵可逆,从而也是的一组基,即是线性
2、无关的反之,如果是线性无关,从而是的一组基,且是从基到的过渡矩阵,因此是可逆的所以是可逆的线性变换方法技巧方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换;方法2借助教材中的定理2,将线性变换可逆转化成了矩阵可逆9设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为 1)求在基下的矩阵; 2)求在基下的矩阵,其中且; 3)求在基下的矩阵解题提示可以利用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解解 1)由于,故在基下的矩阵为2)由于,故在基下的矩阵为3)由于从到的过渡矩阵为,故在基下的矩阵为方法技巧根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了1)和2)所求的矩阵;3)借助了过渡矩阵,利用相似矩阵得到了所求矩阵事实上,这三个题目都可以分别用两种方法求解10设是线性空间上的线性变换,如果,但,求证:()线性无关证明由于,故对于任意的非负整数,都有当时,设,用作用于上式,得,但,因此于是,再用作用上式,同样得到依此下去,可得从而线性无关16证明:与相似,其中是的一个排列解题提示利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义证法1设是一个维线性空间,且是
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