史上高中阶段最全的数列求和(10种)
42页1、数列的求和,一.公式法:,等差数列的前n项和公式: 等比数列的前n项和公式 , 2+4+6+2n= ; 1+3+5+(2n-1)= ;,n2+n,n2,二、错位相减法求和 例如 是等差数列, 是等比数列,求a1b1a2b2anbn的和 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和 四、并项求和 例如求10029929829722212的和 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消,剩下首尾若干项,六。倒序相加法: 如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和(都相等,为定值),可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法. 七。归纳猜想法 : 先通过归纳猜想和的表达式,再使用数学归纳法等正面证明。 八。奇偶法 通过分组,对n分奇偶讨论求和,九。通项分析求和法,十。周期转化法 如果一个数列具有周期性,那么只要求出了数列在一个周期内各项的和,就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并,(3)求数列1,34,567,78910, ,前n项和Sn.,例1.求和: (1)Sn11
2、1111,例1:,求和:,10看通项,是什么数列,用哪个公式; 20注意项数,例2、已知,求S,解:,倒序相加法,如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和(都相等,为定值),可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法.,类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,变式探究,已知数列1,3a,5a2,(2n1)an1(a0), 求其前n项和,例3.,例3.已知数列1,3a,5a2,(2n1)an1(a0),求其前n项和,思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,2n1与等比数列a0,a,a2,an1对应项的积,可用错位相减法求和,解析:设Sn13a5a2(2n1)an1 a得,aSna3a25a3(2n1)an : (1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.,当a1时,Snn2.,点评:若数列an,bn分别是等差、等比数列,则求数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法,错位相减法:,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比
3、,2. 设数列 满足a13a232a33n1an ,aN*. (1)求数列 的通项; (2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.,变式探究,2设数列 满足a13a232a33n1an ,aN*. (1)求数列 的通项; (2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.,解析:(1)a13a232a33n1an ,,(2) bnn3n,Sn13232333n3n, 3Sn132233334(n1)3nn3n1 两式相减,得2Sn332333nn3n1,,设数列an的前n项和为Sn,点(n, )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上. (1)求数列an的通项公式; (2) ,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.,例4.,(1)依题意得 =3n-2, 即Sn=3n2-2n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5; 当n=1时,a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).,(2)由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn 因此,使得 (nN*)成立的m必须满足 ,即m10. 故满足要求的最小正
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