§3.4基本不等式3.4基本不等式3章节
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1、探究:,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,研究过程:,1探究图形中的不等关系,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：,探究图形变化过程,当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,2得到结论：,3思考：你能给出它的证明吗？,证明：因为,特别的，如果a0,b0,我们用 分别代替a、b ，可得 通常我们把上式写作,基本不等式 (a0,b0),3.4基本不等式,第一课时,a+b,（2）,只要证,要证（2），只要证,要证（3），只要证,显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。,用分析法证明：,从不等式的性质推导基本不等式,思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？你能给出这个不等式的其它证法吗？,a,b,小结:,1、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b 的_.,算术平均数,2、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b 的_.,几何平均数,那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均数之间具有
2、怎样的关系呢？,基本不等式 (a0,b0),两个正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数,3、例题讲解,1 已知x、y都是正数，求证： (1) 2；,分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.,解：x，y都是正数, 0， 0,=2,（当且仅当x=y时，式中取等号。）,2 2 2,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,解：x，y都是正数, xy2 0, x20， y20，x30，y30,x2y22 0,x3y32 0,(xy)(x2y2)(x3y3),x3y3,即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,（当且仅当x=y时，式中取等号）,（当且仅当x=y时，式中取等号）,4.随堂练习,已知a、b、c都是正数，求证,(3)(ab)(bc)(ca)abc,本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数( )， 几何平均数（ ）及它们的关系（ ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 。,5.课时小结,再见,
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