计量师常用公式（2019）

1、窗体顶端红色标注的非常重要(一)几种常用的实验标准偏差的估计方法在相同条件下，对同一被测量x作n次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法估计。1.贝塞尔公式法 适合于测量次数较多的情况从有限次独立重复测量的一系列测量值代入式（36）得到估计的标准偏差（用样本的标准偏差s来衡量分析数据的分散程度）。 （36）式中（n-1）为自由度，它说明在n次测定中，只有（n1）个可变偏差，引入（n1），主要是为了校正以样本平均值代替总体平均值所引起的误差。式中：n次测量的算术平均值， vi第i次测量的测得值；vi=xi残差 v=n1自由度 s(x)(测量值x的)实验标准偏差。 【案例】对某被测件的长度重复测量10次，测量数据如下：10.0006m， 10. 0004m，10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用实验标准偏差表征测量的重复性，请计算实验标准偏差。【案例分析】n=10，计算步骤如下：(1)计算算术平均值： =10m+(0.0006+0.0004+0.000

2、8+0.0002+0.0003+0.0005+0.0005+0.0007+0.0004+0.0006)m/10=10.0005m(2)计算10个残差：+0.0001，0.0001，+0.0003，-0.0003，0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，0.0001，+0.0001(3)计算残差平方和：(4)计算实验标准偏差所以实验标准偏差s(x)=0.00015m=0.0002m(自由度为n1=9)。 2.极差法一般在测量次数较小时采用该法。从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值xmax最小值工xmin，得到极差r=xmaxxmin，根据测量次数n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估计的标准偏差。s(x)=( xmaxxmin)/c (3-8) 式中：c极差系数。极差法的c值列于表3-3。表3-3极差法的c值表n23456789101520cn1.131.642.062.332.532.702.852.973.083.473.74【案例】对某被测件进行了4次测量，测量数据为：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。请用极差法估算实验标准偏差。

3、【案例分析】计算步骤如下：(1)计算极差：r=xmaxxmin=0.06g0.02g=0.04g (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06； (3)计算实验标准偏差：s(x)=( xmaxxmin)/c =0.04g/2.06=0.02g。 3.较差法适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下值得到估计的标准偏差：(二)各种估计方法的比较贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不确定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。在测量次数较少时常采用极差法。较差法更适用于随机过程的方差分析，如适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。(二)算术平均值及其实验标准差的计算(一)算术平均值的计算在相同条件下对被测量x进行有限次重复测量，得到一系列测量值x1， x2， x3，xn，平均值为： (二

4、)算术平均值实验标准差的计算若测量值的实验标准偏差为 s(x) ，则算术平均值的实验标准偏差为有限次测量的算术平均值的实验标准偏差与成反比。测量次数增加，减小，即算术平均值的分散性减小。增加测量次数，用多次测量的算术平均值作为测量结果，可以减小随机误差，或者说，减小由于各种随机影响引入的不确定度。但随测量次数的进一步增加，算术平均值的实验标准偏差减小的程度减弱，相反会增加人力、时间和仪器磨损等问题，所以一般取n=320。【案例】某计量人员在建立计量标准时，对计量标准进行过重复性评定，对被测件重复测量10次，按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s(x)=0.08v。现在，在相同条件下对同一被测件测量4次，取4次测量的算术平均值作为测量结果的最佳估计值，他认为算术平均值的实验标准偏差为s(x)的1/4，即s(x)=0.08v/4=0.02v。【案例分析】计量人员应搞清楚算术平均值的实验标准偏差与测量值的实验标准偏差有什么关系?依据jjf10591999测量不确定度评定与表示和国家计量技术法规统一宣贯教材测量不确定度理解、评定与应用，案例中的计算是错误的。按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s（x）=0

5、.08v是测量值的实验标准偏差，它表明测量值的分散性。多次测量取平均可以减小分散性，算术平均值的实验标准偏差是测量值的实验标准偏差的。所以算术平均值的实验标准偏差应该为：窗体底端（三）异常值的判除方法 (一)什么是异常值异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。也称为存在着“粗大误差”。例如：震动、冲击、电源变化、电磁干扰等意外的条件变化，人为的读数或记录错误，仪器内部的偶发故障等，可能是造成异常值的原因。如果一系列测量值中混有异常值，必然会歪曲测量的结果。这时若能将该值剔除不用，即可使结果更符合客观情况。在有些情况下，一组正确测得值的分散性，本来是客观地反映了实际测量的随机波动特性，但若人为地去掉了一些偏离较远但不属于异常值的数据，由此得到的所谓分散性很小，实际上是虚假的。因为，以后在相同条件下再次测量时原有正常的分散性还会显现出来。所以必须正确地判别和剔除异常值。在测量过程中，记错、读错、仪器突然跳动、突然震动等异常情况引起的已知原因的异常值，应该随时发现

6、，随时剔除，这就是物理判别法。有时，仅仅是怀疑某个值，对于不能确定哪个是异常值时，可采用统计判别法进行判别。 【案例】检定员在检定一台计量器具时，发现记录的数据中某个数较大，她就把它作为异常值剔除了，并再补做一个数据。【案例分析】案例中的那位检定员的做法是不对的。在测量过程中除了当时已知原因的明显错误或突发事件造成的数据异常可以随时剔除外，如果仅仅是看不顺眼或怀疑某个值，不能确定是否是异常值的，不能随意剔除，必须用统计判别法(如格拉布斯法等)判别，判定为异常值的才能剔除。 (三)三种判别准则的比较(1)当50的情况下，3准则较简便；3n50的情况下，格拉布斯准则效果较好，适用于单个异常值；有多于一个异常值时狄克逊准则较好。(2)实际工作中，有较高要求的情况下，可选用多种准则同时进行，若结论相同，可以放心。当结论出现矛盾，则应慎重，此时通常需选a=0.01。当出现既可能是异常值，又可能不是异常值的情况时，一般以不是异常值处理较好。 【案例】重复观测某电阻器之值共n=10次，其10个结果，从小到大排为：10. 0003，10.0004，10.0004，l0.0005，10.0005，10.

7、0005，l0.0006，l0.0006，l0.0007，10.0012。请用狄克逊准则判别异常值，并用格拉布斯准则判别以作比较。用狄克逊准则判别测量次数n=10，选显著性水平a=0.05，则查表3-5得临界值d(0.05，10)=0.530。由于是属于n=810的情况，所以统计量计算如下： （四）测量重复性和测量复现性的评定(一)测量重复性的评定1.计量标准的重复性评定计量标准的重复性是依据jjfl00l一1998(通用计量术语及定义)中测量仪器的重复性定义的，计量标准的重复性是指在相同测量条件下，重复测量同一被测量时，计量标准提供相近示值的能力。这些测量条件包括：相同的测量程序；相同的观测者；在相同的条件下使用相同的计量标准；在相同地点；在短时间内重复测量。计量标准的重复性是计量标准的能力，为了能评定出计量标准的能力，在平定计量标准的重复性时应尽可能选择实物量具、标准物质或具有良好重复性的测量仪器作为被测件，以减小测件本身不重复对评定结果的影响。计量标准重复性评定的方法见国家计量技术规范jjfl033-2008计量标准考核规范。 2.测量结果的重复性评定依据jjfl00l一1998

8、(通用计量术语及定义，测量结果的重复性是指在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。测量结果的重复性是测量结果的不确定度的一个分量，它是获得测量结果时，各种随机影响因素的综合反映，其中包括了所用的计量标准、配套仪器、环境条件等因素以及实际被测量的随机变化。由于被测对象也会对测量结果的分散性有影响，特别是当被测对象是非实物量具的测量仪器时。因此，测量结果的分散性通常比计量标准本身所引入的分散性稍大。 （五）窗体顶端（）计量器具误差的表示与评定(一)最大允许误差的表示形式计量器具又称测量仪器。测量仪器的最大允许误差是由给定测量仪器的规程或规范所允许的示值误差的极限值。它是生产厂规定的测量仪器的技术指标，又称允许误差极限或允许误差限。最大允许误差有上限和下限，通常为对称限，表示时要加“”号。最大允许误差可以用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。1.用绝对误差表示的最大允许误差例如，标称值为1的标准电阻，说明书指出其最大允许误差为0.0l，即示值误差的上限为+0.01，示值误差的下限为0.01，表明该电阻器的阻值允许在0.991.01范围内。2.用相对误差表示的最大允许误差相对误差表示的最大允许误差是其绝对误差与相应示值之比的百分数。例如：测量范围为lmv10v的电压表，其允许误差限为1%。这种情况下，在测量范围内每个示值的绝对允许误差限是不同的。如1v时，为1%1v=0.01v，而10v时，为1%10v=0.1v。最大允许误差用相对误差形式表示，有利于在整个测量范围内的技术指标用一个误差限来表示。 3.用引用误差表示的最大允许误差引用误差表示的最大允许误差是绝对误差与特定值之比的百分数。特定值又称引用值，通常用仪器测量范围的上限值(俗称满刻度值)或量程作为特定值。例如：一台电流表的技术指标为3%fs，这就是用引用误差表示的最大允许误差，fs为满刻度值的英文缩写。又如一台0150v的电压表，说明书说明其引用误差限为2%，说明该电压表的任意示值的允许误差限均为2%150v=3v。用引用误差表示最大允许误差时，仪器在不同

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