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例1某工厂与用户订合同,在四个月内出售一定量的某产品,摘要

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常见问题

1、实验十三,生产计划的制定,动态规划,例1 某工厂与用户订合同,在四个月内出售一定量的某产品，产量限制为10的倍数,工厂每月最多生产100件,产品可以存储,存储费用为每台200元,每个月的需求量及每件产品的生产成本如下表,在1月初没有存货情况下确定每月的生产量，要求既能满足每月的合同需求量，又使生产成本和存储费用达到最小。,我们可把此问题的解决动态地视为各月(称阶段)先后作出决策(指生产量)的过程多阶段的决策过程,每个月作决策时,不能仅考虑本月的费用(称阶段指标),因为本月的决策会对以后各月的决策产生影响,因此应考虑从本月直到第四月末的总费用(总指标),每月的决策依赖于各月初仓库中的存货量(称为始端)而和以前各月如何造成这存货量的情况无关(称为无后效性),当1月初无存货时的最优决策为：,则第四月的决策为月初仓储为0时的最优决策，第三、四月的决策即为第三月初仓储数为70时的最优决策，以及第二、三、四月的决策即为第二月初仓储数为40时的最优决策。,1、动态规划的基本概念 1)阶段:整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，记k为阶段变量 2)状态:每个阶段开

2、始所处的自然状况,它描述了研究问题过程的状况。xk 表示第k阶段的状态变量。无后效性:如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。,3)决策:某一阶段的状态确定后,可作出各种选择演变到下一阶段某一状态,这种选择手段称为决策。uk(xk):第k阶段处于状态xk时决策变量,决策变量限制的取值范围为允许决策集合。Dk(xk): xk的允许决策集合。,4)策略:由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合。p(x1) =u1(x1),u2(x2),.un(xn) 由第k阶段的状态xk开始到终止状态的后部子过程的策略: pk(xk)= uk(xk),uk+1(xk+1), un(xn)。,5)状态转移方程: xk+1=Tk(xk,uk) 即:第k个阶段状态为xk,作出决策uk,那么第k+1阶段的状态变量 xk+1也被完全确定。,6)指标函数和最优值函数:指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示,它定义在全过程和所有后部子过程上,即: V(u1,u2,.,un,x1,x2,.xn+1) Vk(uk,.,un,xk,.xn+1) 指标函数的最优值称为最优

3、函数。,7)最优策略:使指标函数Vk达到最优的策略是从阶段k开始的后部子过程的最优策略, pk*=uk*,. un* 最优策略：即全过程的最优策略记为p*,最优性原理:最优决策的任何截断仍是最优的,这是动态规划的基本原理。动态规划方法:符合最优性原理,无后效性的多阶段决策过程并进行求解的方法。动态规划的逆序求解方法:从终点逐段向始点方向寻找最优的一种方法。,例2 这是一个4阶段动态规划问题.用逆序法解题,第1阶段是1月份,第4阶段是4月份 xk第k阶段开始的产品存储数(状态变量) uk第k阶段的产量（决策变量）； ck第k阶段每件产品的生产成本； qk第k阶段的需求量；,阶段指标函数为: vk(xk, uk) = ckuk + 2xk；状态转移方程为: xk+1 = xk + uk - qk；逆序法基本方程为： fk(xk,uk)=minvk(xk,uk)+fk+1(xk+1)|ukDk(xk) k = 3, 2, 1。,例2:求从始点v1到终点v10的最短路径(两顶点连线上的数字表示距离)。解：把该问题看成4个阶段的决策过程如k=3时初始状态有v5 、 v6和v7，对v6

4、有两个决策v8、v9 。用逆序逐段求解,k=4时,出发点有两个v8、v9 。以f4(v8)表示由v8到v10的最短距离, f4(v9)表示由v9到v10的最短距离,则f4(v8) =3,f4(v9)= 4。,k=3时,出发点有三个v5、v6和v7。从v6出发有两个选择v8, v9。d3(v6,v8) 表示由v6到v8的距离,u3(v6)表示相应的选择或决策,则: f3(v6)= min d3(v6,v8) + f4(v8),d3(v6,v9) + f4(v9) = min 2+ 3，3 + 4 = 5 可见u3(v6) = v8，其最短路径为v6v8v10,f3(v7)= min d3(v7,v8) + f4(v8),d3(v7,v9) + f4(v9) = min 6+ 3，6 + 4 = 9 可见u3(v7) = v8，其最短路径为v7v8v10,f3(v5)= min d3(v5,v8) + f4(v8) = min 4+ 3 = 7 可见u3(v5) = v8，其最短路径为v5v8v10,k=2时,出发点有三个v2、v3和v4。,f2(v2)= min d2(v2,v5) + f3(v5), d2(v2,v6) + f3(v6) = min 7+ 7,7+5 = 12 则u2(v2) = v5,其最短路径为v2 v5v8v10,f2(v4)= min d2(v4,v7) + f3(v7), d2(v4,v6) + f3(v6) = min 3+ 9,5+5 = 10 则u2(v4) = v6,其最短路径为v4 v6v8v10,例3 某部门将某种设备5台,分配给所属的三个工厂,各工厂获得这种设备后,盈利如表,问:这五台设备如何分配使得盈利最大？,解:将问题按工厂分为三个阶段,甲、乙和丙,3 个工厂分别编号为1、2和3。状态变量xk: 分给第k个至第n个工厂的设备数决策变量uk: 分配给第k个工厂的设备数状态转移方程: xk+1 = xk uk 阶段指标函数vk(uk): uk台设备分配到第k个工厂的盈利。 fk(xk): 表示xk台设备分配给第k个工厂至第n个工厂所获得的最大盈利值。,基本方程为：,

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