拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性-2014-04-08

1、拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性摘要矩阵是高等代数的重要内容，线性组合是高等代数的重要知识点，关于幂等矩阵的线性组合的可逆性问题在统计学和密码学中具有十分广泛的应用，本文针对拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性问题进行了研究。首先，对于矩阵理论的相关知识进行了研究，指出了幂等矩阵的概念以及幂等矩阵的相关性质。幂等矩阵由于其m次幂是其自身的特殊性使得幂等矩阵有了更多的性质，对于其研究使得对于幂等矩阵有了更加深刻的了解。其次，对于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的条件进行了研究，给出了值域空间和零空间的概念，在此基础上讨论了拟3-幂等矩阵可逆性的条件，并且指出幂等矩阵线性组合的可逆性条件是一个十分重要的内容，从理论上回答了那些幂等矩阵的线性组合是可逆的。最后，对于拟-3幂等矩阵线性组合的可逆性进行了研究，给出了在幂等矩阵前提下的矩阵的相似和矩阵等价之间的充要关系，同时给出了拟-3矩阵判断的充要条件，指出对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力，即逻辑思维能力、分析问题的能力以及总计问题的能力。本文的研究对于有效的促进幂等矩阵在统计学和密码学中的应用具有一定的参考价值。

2、关键字：幂等矩阵；可逆性；线性组合IIIABSTRACTMatrix is the important content of higher algebra, linear combination is one of the important knowledge points, higher algebra about idempotent matrix of the linear combination of reversible in statistics and cryptography has very extensive application, this paper proposed a 3 - idempotent matrix of the linear combination of reversibility problem is studied. First of all, to the matrix theory of knowledge is studied, pointed out that the concept of idempotent matrix a

3、nd the properties of idempotent matrix. Idempotent matrix due to the particularity of its m power is its idempotent matrix has more nature, for its research makes for idempotent matrix have a deeper understanding. Second, for quasi - 3 idempotent matrix of linear combination of reversible conditions are studied, it gives the concept of domain space and the zero space, on the basis of the quasi 3 - idempotent matrices is discussed reversible conditions, and points out that the linear combination

4、of idempotent matrix reversible condition is a very important content, are answered theoretically the idempotent matrix of linear combination is reversible. Finally, the quasi - 3 idempotent matrix the reversibility of the linear combination are studied, under the precondition of idempotent matrix are given similar matrix and matrix and the relationship between equivalent charge to judgment of necessary and sufficient conditions are given at the same time - 3 matrix, pointed out that for 3 - the

5、 study of the linear combination of reversible idempotent matrix can effectively exercise the three kinds of thinking ability of students, namely, logical thinking ability, the ability to analyze and total problem. This paper studies to effectively promote the idempotent matrix in the application of statistical and cryptography has a certain reference value.Keywords: Idempotent matrix; Reversible; A linear combination目录摘要IABSTRACTII1 绪论11.1 研究背景11.2 研究意义11.3 本文的主要工作12 矩阵理论的相关知识22.1 幂等矩阵的概念22.2 幂

6、等矩阵的性质23 逆3-幂等矩阵线性组合可逆性的条件43.1 预备知识43.2 主要结论53.3 研究总结74 拟3-幂等矩阵线性组合的可逆性84.1 预备知识84.2 主要结论94.3 研究总结95 结论10参考文献10致谢111 绪论1.1 研究背景矩阵是高等代数中一个十分重要的组成部分，矩阵理论在统计学、密码学以及系统理论中有着十分广泛的应用。许多的统计学、密码学以及系统理论学问题常常可以转化为矩阵的线性组合问题进行求解，关于矩阵的线性组合问题的研究越来越受到广大数学研究者的重视。幂等矩阵是矩阵中一类十分特殊的矩阵，其自身的m次幂依旧是其自身。由于幂等矩阵的这些特殊性使得幂等矩阵在许多的领域有了更加广泛的应用，其中关于幂等矩阵线性组合的可逆性问题也逐渐成为了人们关注的问题。本文针对拟-3幂等矩阵的线性组合可逆性问题进行了研究，期待对于有效的推动幂等矩阵的应用具有一定的参考价值。假设矩阵和矩阵为n阶矩阵，矩阵为矩阵和矩阵的线性组合，即，其中标量和标量为非零的复数。对于其可逆性的研究就是当矩阵和矩阵为幂等可交换矩阵的时候，那么其线性组合的可逆性问题。关于该问题可以有效的培养学生的逻辑

7、思维能力，将高等代数中的矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同等问题有效的联系起来，将高等代数的相关理论紧密的联系在一起，有效的确保整个理论自成体系。1.2 研究意义幂等矩阵是矩阵中一类十分特殊的矩阵，正式由于其特殊性在统计学以及密码学等得到了十分广泛的应用。矩阵的拟一直是矩阵研究的重点，矩阵的拟就如同是标量中的数的倒数一样，但是关于矩阵的拟的求解却是一个十分麻烦的过程。线性组合是高等代数中的重要概念，关于幂等矩阵的线性组合的拟是一个十分复杂的问题，逐渐的引起来越来越多的人的关注和研究。关于线性组合的幂等矩阵的拟的研究涉及了高等代数中的许多重要的知识点，对于该问题的研究可以使得学生对于线性组合、幂等矩阵、矩阵的拟、矩阵的特征值、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同等概念有更加全面的认识和了解。本文针对拟-3幂等矩阵的线性组合的可逆性的研究对于有效的去理解这些问题，有效的培养学生的逻辑思维能力具有重要的意义。1.3 本文的主要工作幂等矩阵是矩阵中一类非常特殊的矩阵，本文针对拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性问题进行了研究，主要包括三个方面的内容：(1) 对于矩阵理论的相关知识进行了研究，指出了幂

8、等矩阵的概念以及幂等矩阵的相关性质。幂等矩阵由于其m次幂是其自身的特殊性使得幂等矩阵有了更多的性质，对于其研究使得对于幂等矩阵有了更加深刻的了解；(2) 对于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的条件进行了研究，给出了值域空间和零空间的概念，在此基础上讨论了拟3-幂等矩阵可逆性的条件，并且指出幂等矩阵线性组合的可逆性条件是一个十分重要的内容，从理论上回答了那些幂等矩阵的线性组合是可逆的；(3) 对于拟-3幂等矩阵线性组合的可逆性进行了研究，给出了在幂等矩阵前提下的矩阵的相似和矩阵等价之间的充要关系，同时给出了拟-3矩阵判断的充要条件，指出对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力，即逻辑思维能力、分析问题的能力以及总计问题的能力。2 矩阵理论的相关知识2.1 幂等矩阵的概念矩阵是高等代数中的一个重要的概念，许多的问题经过转化都可以转化为矩阵的求解问题。从数学的角度来讲矩阵就是由纵横的二维数据形成的可以进行四则运算的表格。矩阵最早在方程组求解问题中得到应用，并且对于线性方程组求解理论的推广起到了十分重要的推动作用。幂等矩阵是矩阵的一种特殊情况，对于幂等矩阵的严格定义如

9、下：定义1：设矩阵A为n阶方阵，如果矩阵A满足()，那么称矩阵A为t-幂等矩阵。对于t-幂等矩阵而言，当t=2时，称矩阵A为幂等矩阵；对于t-幂等矩阵而言，当t=3时，称矩阵A为立方幂等矩阵，也称为3-幂等矩阵。很显然，对于t-幂等矩阵而言，其0，1，t-1次方根均为其t-幂等矩阵的特征值。由于幂等矩阵的特殊性，幂等矩阵相比较一般的矩阵具有更多的性质，下面针对幂等矩阵的性质进行讨论。2.2 幂等矩阵的性质对于幂等矩阵而言，在许多数学问题的研究中具有十分广泛的应用前景。幂等矩阵具有许多非常重要的性质，深刻的理解这些性质对于幂等矩阵的应用和研究都具有重要的作用。性质1：设矩阵A为t-幂等矩阵，那么矩阵A的伴随矩阵和矩阵均为t-幂等矩阵。性质2：拟3-矩阵A为幂等矩阵的充分必要条件是rank(A)+rank(A-E)=3。证明过程如下：必要性：由于矩阵A为拟3-幂等矩阵，因此。又因为矩阵A为3阶矩阵，因此。由高等代数矩阵秩的相关结论，可知 (1)由此，可以得出rank(A)+rank(A-E)=3。充分性：设齐次线性方程组的解空间为，齐次线性方程组的解空间为。根据高等代数其次方程组解空间理论可知齐次线性方程组和齐次线性方程组的公共解为，因此解空间为和解空间为的交集。不妨假定空间为，那么，可以得出 (2)根据高等代数其次线性方程组求解理论，可以知道，齐次线性方程组解空间的维数为，齐次线性方程组解空间的维数为。由此，可以得到 (3)因此，空间为整个3维向量空间。，那么，其中向量，。由于，因此 (4)即所有属于空间的向量均是齐次线性方程组的解。根据向量的任意性可知，空间是齐次线性方程组的解空间，因此 (5)从而可以得到，即矩阵A为幂等矩阵。综上可知，拟3-矩阵A为幂等矩阵的充分必要条件是rank(A)+rank(A-E)=3。性

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