知识点060 平方差公式的几何背景(解答)
15页1、知识点060 平方差公式的几何背景(解答)1. 乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是a2-b2(写成两数平方差的形式);(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是a-b,长是a+b,面积是(a+b)(a-b)(写成多项式乘法的形式);(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式(a+b)(a-b)=a2-b2;(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:10.29.8,(2m+n-p)(2m-n+p)考点:平方差公式的几何背景专题:计算题分析:(1)利用正方形的面积公式就可求出;(2)仔细观察图形就会知道长,宽由面积公式就可求出面积;(3)建立等式就可得出;(4)利用平方差公式就可方便简单的计算解答:解:(1)利用正方形的面积公式可知:阴影部分的面积=a2-b2;(2)a-b,a+b,(a+b)(a-b);(3)(a+b)(a-b)=a2-b2(等式两边交换位置也可);(4)解:原式=(10+0.2)(10-0.2),=102-0.22,=100-0.04,=99.96;解:原式=2m+(n-p)2m-(n-p),=(2m)2-(n-p)2,=
2、4m2-n2+2np-p2点评:此题主要考查了平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观2. 如图是边长为a+2b的正方形(1)边长为a的正方形有1个(2)边长为b的正方形有4个(3)两边分别为a和b的矩形有4个(4)用不同的形式表示边长为a+2b的正方形面积,并进行比较写出你的结论考点:平方差公式的几何背景;列代数式;完全平方式分析:(1)(2)(3)根据图直接可以看出,(4)根据正方形的面积公式=边长边长=(a+2b)(a+2b)=(a+2b)2,然后利用平方差公式把它展开又是另一种表现形式解答:解:(1)由图可知边长为a的正方形只有一个;(2)由图可知边长为b的正方形有4个;(3)由图可知两边长分别为a和b的矩形有4个;(4)S边长为a+2b的正方形=(a+2b)2S边长为a+2b的正方形=a2+4b2+4ab;结论是(a+2b)2=a2+4b2+4ab点评:本题主要考查了同学们的观察能力以及运用面积公式求正方形的面积3. 如图1所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2
3、是由图1中阴影部分拼成的一个长方形(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:a2-b2、(a+b)(a-b);(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式?平方差公式;(3)试利用这个公式计算:20092-20102008考点:平方差公式的几何背景分析:本题通过(1)中的面积=a2-b2,(2)中矩形的面积=(a+b)(a-b),并且两图形阴影面积相等,据此即可得出平方差公式,即a2-b2=(a+b)(a-b)解答:解:(1)a2-b2(1分);(a+b)(a-b)(1分)(2)平方差公式(2分)(3)20092-20102008,=20092-(2009+1)(2009-1),=20092-20092+1,=1(4分)点评:本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式,熟记公式结构是利用平方差公式解决实际问题4. 乘法公式的探究及应用:(1)如图1所示,可以求出阴影部分的面积是a2-b2(写成两数平方差的形式)(2)若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如图2的矩形,此矩形的面积是(a+b)(a-b)(写成多项式乘法的形式)(3)比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式a2-b2=(
4、a+b)(a-b)(4)应用所得的公式计算:(1-1/22)(1-1/32)(1-1/42)(1-1/992)(1-1/1002)考点:平方差公式的几何背景专题:探究型分析:(1)利用面积公式:大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积;(2)利用矩形公式即可求解;(3)利用面积相等列出等式即可;(4)利用平方差公式简便计算解答:解:(1)a2-b2;(2)(a+b)(a-b);(3)a2-b2=(a+b)(a-b);(4)原式=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)(1-1/99)(1+1/99)(1-1/100)(1+1/100),=1/23/22/34/398/99100/9999/100101/100,=101/200点评:本题综合考查了证明平方差公式和使用平方差公式的能力5. 如图:大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式考点:平方差公式的几何背景专题:证明题分析:由大正方形的面积-小正方形的面积=四个等腰梯形的面积,进而证得平方差公式解答:解:根据题意大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2,四个等腰梯形的面积=1/2(a+b)(1/
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