2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科)-第九章-第1讲-数列的概念与简单表示法[配套幻灯片]

1、第九章 数 列,第1讲,数列的概念与简单表示法,1数列的定义 按照_排列着的一列数称为数列，数列中的每一 个数叫做这个数列的_数列可以看作是定义域为 N*的非空 子集的函数，其图象是一群孤立的点,一定顺序,项,2数列的分类,有限,无限,3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 _ 、_ 和,_,列表法,图象法,解析法,4数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an 与_之间的关系可以用一 个公式 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公,式,序号 n,5递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项 an 与 它的前一项 an1(或前几项)之间的关系可以用一个式子来表示， 即 anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an 的递推公式如数列an中，a11，an2an11，其中 an 2an11 是数列an的递推公式 6数列的前 n 项和与通项公式,(1)Sn_. (2)an_.,a1a2an,1数列 1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是(,),B,2数列 1，3,5，7,9，的一个通项公式为(,),B,Aan2n1 Ban2

2、n1 Can2n Dan2n1,Aan2n1 Ban(1)n1(2n1) Can(1)n(2n1) Dan(1)n(2n1),3已知数列an的前 5 项为 1,12,16,112,120，,),则该数列的一个通项公式是( A1n(n1) C1n(n1),B12n D以上都不是,则 a20(,),D,A1,B1,C.,1 2,D2,C,5图 9-1-1 是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的 若干图案，若按此规律铺设，则第 n 个图案中需用黑色瓷砖的,块数为(用含 n 的代数式表示)(,),D,图 9-1-1,A4n,B4n1,C4n3,D4n8,考点 1,由数列的前几项写数列的通项公式,例 1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项 已给出,(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，； (4)5,4,5,4，.,n(n1),解：(1)该数列第1,2,3,4 项的分母分别为2,3,4,5，恰好比项 数多1.分子中的 22,32,42,52，恰是分母的平方，1 不变，故它,的一个通项公式为an,(n1)21 n1,.,(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需有一个因子

3、 ( 1)n ，分子均为1 不变，分母2,6,12,20 可分解为12,23, 34,45，故它的一个通项公式为an(,1)n ,1,.,(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5，偶 数项是 4.,(3)0.910.1,0.9910.01,0.99910.001，0.999 910.000 1， 又0.1101,0.01102,0.001103,0.0001104，它的一个通项公式为an110n.,【方法与技巧】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项,的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可,根据数列an的前 n 项求通项公式，我们常常取其形式上 较简便的一个即可另外，求通项公式，一般可通过观察数列 中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加 以验证,已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考,虑：,负号用(1)n与(1)n1或(1)n1来调节；,分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、分母的关系； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征；,对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数,列(后面专门学习)和其他方法解决；,此类问题虽无

4、固定模式，但也有其规律可循，主要靠观 察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等 差或等比数列)等方法,【互动探究】 1已知数列的an的前 4 项分别为 1,0,1,0，则下列各式可,作为数列an的通项公式的个数有(,),A1 个,B2 个,C3 个,D4 个,解析：对于，将 n3 代入，a331，故不是an的 通项公式；由三角函数公式，知：和实质上是一样的，不 难验证，它们是已知数列 1,0,1,0 的通项公式；对于，易看出， 它不是数列an的通项公式；显然是数列an的通项公式综 上所述，数列an的通项公式有三个故选 C. 答案：C,2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，,如图 9-1-2：,图 9-1-2,他们研究过图 9-1-2(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够 表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 9-1-2(2)中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又,),C,是正方形数的是( A289 C1225,B1024 D1378,考点 2,由递推关系式求数列的通项公式,例 2：已知数列an满足an12an1，n

5、N*. (1)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通 项公式； (2)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项 公式,解：(1)a1a2a3a41， 可推测该数列an的通项公式为an1. (2)a11，a22113，a32317， a427115， 可推测该数列an的通项公式为an2n1. (另解：用“累种法”由an12an1an112(an1)an11(a11)2n1an12n1.),【互动探究】,3已知数列an满足an1ann2(nN*)，且a11. (1)求a2，a3，a4的值； (2)求an的通项公式,解：(1)因为an1ann2，且a11， 所以a24，a38，a413. (2)因为an1ann2， 所以anan1n1，an1an2n，a2a13， 这n1个式子相加可得ana134(n1) 134(n1) .,考点 3,利用 an与Sn的关系求数列的通项公式,例3：已知数列an的前n项和为Sn.按照下列条件求数列的通项公式 (1)若Sn2n2n，求数列an的通项公式； (2)若Snn2n1，求数列an的通项公式,解：(1)当n1时，a1S11. 当

6、n2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n3. 经检验，当n1时，a11也适合an4n3. 数列an的通项公式是an4n3.,【方法与技巧】已知an求Sn的方法多种多样，但已知Sn求an的方法却是高度统一，化简关系式用Sn表示出an是关键 当n2时，若由anSnSn1求出的an对n1也成立，则anSnSn1，否则就分段表示,【互动探究】 4(2011 年四川)数列an的前n项和为Sn，若a11，,an13Sn(n1)，则a6(,),A,A344 B3441 C44 D45,解析：由an13Sn，得an3Sn1(n2)，相减，得an1an3(SnSn1)3an，则an14an(n2)a11，a23，则a6a244344.故选A.,思想与方法,用函数的思想探讨数列的单调性,例题：已知单调递增数列an中，ann2kn(nN*)，求 k,的取值范围,解：ann2kn(nN*)， an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k. 数列an单调递增， an1an0，即2n1k0恒成立 k2n1，即k3.,【方法与技巧】函数的单调性与数列的单调性既有联系又 有区别，若数列所对应的函数单调，则数列一定单调，反之， 若数列单调，则其所对应的函数不一定单调因为数列是定义 域为正整数集的特殊函数，所以，数列的单调性一般要通过比 较an1与an的大小来判断若an1an，则数列为递增数列；若 an1an，则数列为递减数列解本题易出现的错误是 an 是关于 n 的二次函数，其定义域为正整数集，若数列an递增，则必有,k 2,1，故 k2.,

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