向量数乘运算及其几何意义课件
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2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义,1.向量加法三角形法则:,特点:首尾相接，首尾连,特点:同一起点,对角线,特点：共起点，连终点，方向指向被减向量,2.向量加法平行四边形法则:,3.向量减法三角形法则:,思考：已知非零向量 ，作出 和 ， 你能说明它们的几何意义吗？,A,B,C,Q,M,N,3a与a方向相同 |3a|=3|a|,-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|,一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：,（1）,（2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。,=,(2) 根据定义，求作向量(2+3)a和2a +3a (a为非零向量)，并进行比较。,(3) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。,设 为实数，那么,特别的，我们有,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意 向量 ，以及任意实数 ，恒有,运算律：,结合律,第一分配律,第二分配律,仍是向量,例1.计算：,-12,5,- +5 -2,成立,向量共线定理：,思考:1) 为什么要是非零向量?,2) 可以是零向量吗?, 与 共线,解：,A,B,C,A,B,C,且有公共点,证明三点共线的方法:,方法小结:,AB=BC,且有公共点,A,B,C三点共线,例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 、 来表示 。,A,B,D,M,一、a 的定义及运算律 向量共线定理 (a0) b=a 向量a与b共线,二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=BC 且有公共点 3. 证明 两直线平行: AB=CD AB与CD不在同一直线上,直线AB直线CD,小结:,A,B,C三点共线,ABCD,作业：,书本P91，A组，9,10 B组,3,设 是两个不共线的向量， ，若A、B、D三点共线，求k的值.,书本P92，A组，12、13 （提示：连结AC）,
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