2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.4.3正切函数的性质与图象

1、1.4.3 正切函数的性质与图象,函数y=tanx的图象和性质,R,奇函数,【点拨】(1)正切函数的性质 周期:一般地,函数y=Atan(x+)+B(A0,0)的 周期是T= ,若不知正负,则该函数的最小正周期为 T= .,单调性:正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间.,(2)正切函数图象的两种作法 几何法:利用单位圆中的正切线作图,该方法较为精确,但画图时较烦琐. 三点两线法:“三点”是指 (0,0),( ，1)， “两线”是指x=- 和x= ,大致画出正切函数在 (- ， )上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线.,(3)正切函数图象的对称性 对称性:正切函数图象的对称中心是( ，0)(kZ),不存在对称轴.,渐近线:直线x=k+ (kZ)称为正切曲线的渐近线,渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近线.,【自我检测】 1.函数y= 在一个周期内的图象是 ( ),【解析】选A.当x= 时,y=0,排除C,D; 当x=0时,y= 排除B.,2.函数y=tan(

2、x- )的定义域为_. 【解析】函数的自变量x应满足x- k+ ,kZ. 即xk+ ,kZ. 所以,函数的定义域为x|xk+ ，kZ. 答案: x|xk+ ，kZ,3.函数y=tan3x的最小正周期是_. 【解析】因为y=tan3x=tan(3x+)=tan3 , 所以 为函数y=tan3x的一个周期,且为最小的正周期. 答案:,4.函数y=tan 的单调增区间是_. 【解析】因为函数y=tanx在 (kZ)上 单调递增, 所以令 +k,kZ. 解得k- +k(kZ). 答案: (kZ),类型一 有关正切函数的定义域、值域问题 【典例】1.(2018洛阳高一检测)函数y= 的值域是 ( ) A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-,1) D.(-1,+),2.函数y=3tan 的定义域为_. 3.求函数y=tan2 +tan +1的定义域和值域.,【审题路线图】1.值域- x tanx的范围 的范围. 2.定义域 kZx的范围. 3.定义域3x+ k+ ,kZx的范围; 值域令t=tan 二次函数范围.,【解析】1.选B.因为- x ,所以-1tanx1, 即 (-,-1

3、)(1,+). 2.要使函数有意义应满足 kZ, 得x-4k- ,kZ, 所以函数的定义域为 答案:,3.由3x+ k+ ,kZ,得x (kZ), 所以函数的定义域为 设t=tan 则tR,y=t2+t+1= 所以原函数的值域是,【延伸探究】 1.将本例2中函数改为f(x)= 求与此函数图象不相交且与x轴垂直的直线方程.,【解析】由 kZ 得 kZ, 所以所求直线方程为x= kZ.,2.将本例2中函数改为“y= ”,其定义域又是什么?,【解析】根据题意,得 解得,所以函数的定义域为,【方法技巧】 1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数 定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义 即x +k,kZ.,(2)求正切型函数y=Atan(x+)(A0,0)的定义 域时,要将“x+”视为一个“整体”.令x+ k+ ,kZ,解得x.,2.解形如tanxa的不等式的步骤,提醒:求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时,要充分利用三角函数的图象或三角函数线.,【补偿训练】1.函数y= 的定义域是 ( ),【解析】选B.由题意 0, 即

4、tan 0, 所以k- x- k,kZ, 所以k- xk+ ,kZ.,2.求下列函数的定义域:,【解题指南】写出使得函数有意义时所满足的条件,结合三角函数的定义域求若干三角不等式的交集即可.,【解析】(1)要使函数y= 有意义, 必须且只需 所以函数的定义域为,(2)因为 -tanx0,所以tanx . 又因为tanx= 时,x= +k(kZ), 根据正切函数图象,得k- xk+ (kZ), 所以函数的定义域是,类型二 正切函数单调性的应用 【典例】1.tan1,tan2,tan3,tan4从小到大的排列顺序为_. 2.(2018太原高一检测)求函数y=3tan 的单调区间.,【审题路线图】1.比较大小y=tanx在区间 的单调性tan1=tan(+1), 234+1 . 2.确定单调区间y=3tan =-3tan - +k2x- +k单调区间.,【解析】1.y=tanx在区间 上是单调增函数, 且tan1=tan(+1), 又 234+1 , 所以tan2tan3tan4tan1. 答案:tan2tan3tan4tan1,2.y=3tan =-3tan , 由- +k2x- +k,k

5、Z得, 所以y=3tan 的减区间为,【方法技巧】 1.求函数y=Atan(x+)(A0,0,且A,都是 常数)的单调区间的方法 (1)若0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函 数,故可用“整体代换”的思想,令k- x+ k+ ,kZ,解得x的范围即可.,(2)若0,可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y=Atan-(-x-)=-Atan(-x-),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.,2.运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 提醒:在求关于正切函数的单调区间时首先要注意自变量的系数是否为正.,【拓展延伸】用正切函数的单调性比较两数的大小的关键点 关键点是如何利用函数的周期性或诱导公式将两个角转化到同一个单调区间内.,【变式训练】比较 的大小. 【解析】,类型三 正切函数奇偶性与周期性的应用 【典例】1.(2018西安高一检测)函数y=4tan 的周期为_. 2.判断下列函数的奇偶性: (1)y=3xtan2x-2x4.(2)y=cos +tanx.,【审

6、题路线图】1.周期=3T= 2.奇偶性函数定义域奇、偶函数的定义. 【解析】1.由于=3,故函数的周期为T= 答案:,2.(1)定义域为 ,关于原点对称, 又f(-x)=3(-x)tan2(-x)-2(-x)4=3xtan2x-2x4=f(x),所以它是偶函数.,(2)定义域为 ,关于原点对称, y=cos +tanx=sinx+tanx, 又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以它是奇函数.,【延伸探究】 本例2(1)中函数y=3xtan2x-2x4,当x 时是偶函数吗? 【解析】不是,因为其定义域不关于原点对称.,【方法技巧】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶 性问题的解决策略 (1)一般地,函数y=Atan(x+)的最小正周期为T= , 常常利用此公式来求周期.,(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.,【变式训练】1.下列函数为奇函数的是 ( ) A.y=tan(x+) B.y=sin|x| C.y=cos|x| D.y=|tanx| 【解析】选A. y=tan(x+)=tanx为奇函数.,2.判断y= 的奇偶性. 【解析】由 0得tanx1或tanx-1, 所以定义域为 kZ,关于原点对称,所以此函数为奇函数.,【补偿训练】函数y=|tanx|的周期为_. 【解析】先作出y=tanx的图象,然后将它在x轴上方的图象保留,而将其在x轴下方的图象向上翻(即作出关于x轴的对称图象),就可得到y=|tanx|的图象.,如图,显然它的最小正周期是. 答案:,【核心素养培优区】 【易错案例】函数y=Atan(x+)的对称中心 【典例】(2018杭州高一检测)已知函数y= 则该函数图象的对称中心坐标为 .,【失误案例】由x- =k,kZ, 得x=k+ ,kZ,所以函数y= 的图象的对称 中心坐标为 ,kZ.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视 kZ也是正切 曲线y=tanx的对称中心,实际上正切曲线y=tanx的对称 中心坐标为 kZ.,【自我纠正】由 (kZ)得 所以图象的对称中心坐标为 答案:,

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