2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：3.2.1古典概型

1、3.2 古典概型 3.2.1 古典概型,1.基本事件 (1)定义:在一次试验中,所有可能出现的基本结果中不 能再分的最简单的_事件称为该次试验的基本事件. (2)特点:一是任何两个基本事件是_;二是任何 事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的_.,随机,互斥的,和,2.古典概型 (1)定义:如果一个概率模型满足: 试验中所有可能出现的基本事件只有_个; 每个基本事件出现的可能性_. 那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.,有限,相等,(2)计算公式:对于古典概型,任何事件A的概率为P(A)=_.,【点拨】 (1)古典概型的判断方法 有限性:判断试验的基本事件是否是有限个,若基本事件无限个,即不可数,则不是古典概型.,等可能性:考查基本事件的发生是不是等可能的,若基本事件发生的可能性不一样,则不是古典概型. 只有同时具备了上述两个特征,才是古典概型.,(2)从集合的观点看古典概型 若一个随机试验的数学模型是古典概型,意味着试验的 基本事件只有有限个,用e1,e2,en表示,显然有限个 基本事件能构成一个有限集,记为,即=e1,e2,en. 由于任何一个事件A都可以用基本

2、事件表示,这说明A,当A= 时,A是不可能事件,当A=时,A是必然事件.另外P(e1)=P(e2)=P(en),即每一个基本事件出现的可能性相同.,【自我检测】 1.下列试验中,是古典概型的有 ( ) A.某人射击中靶或不中靶 B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C.四位同学用抽签法选一人参加会议 D.运动员投篮,观察是否投中,【解析】选C.A中,某人射击中靶与不中靶的概率不相等,所以A不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投篮投中与没有投中的概率不相等,所以D不是古典概型.,2.从集合1,2,3,4中任取两个元素,可能的结果数 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选D.从集合1,2,3,4中任取两个元素,则可能的结果为:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.,3.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文书两本, 则抽出一本外文书的概率为( ) 【解析】选D.

3、抽到的外文书,可能是英文书或日文书, 所以P=,4.从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字中含有3为事件A,则P(A)= .,【解析】从1,2,3中任取两个数字有(1,2),(1,3),(2,3),共3个基本事件;事件A包含(1,3),(2,3),共2个基本事件,则P(A)= . 答案:,类型一 基本事件的计数问题 【典例】1.袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同 的小球,从中取出两个,下列事件不是基本事件的 是 ( ),A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8,2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件的个数为 . 3.将一枚骰子先后抛掷两次,则: (1)一共有几个基本事件? (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?,【审题路线图】求基本事件及其个数列举法、列表法、树状图法.,【解析】1.选D.由基本事件的定义知,选项A,B,C都是基本事件,D中包含取出标号为1和7,3和5两个基本事件,所以D不是基本事件. 2.基本事件有(数学,计算机),(数学

4、,航空模型),(计算机,航空模型)共3个. 答案:3,3.方法一(列举法): (1)用(x,y)表示结果,其中x表示骰子第1次出现的点 数,y表示骰子第2次出现的点数,则试验的所有结果为:,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6).共36个基本事件.,(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6).,方法二(列表法): 如图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,基本事件与所描点一一对应.,(1)由图知,基本事件总数为36. (2)总数之和大于8包含10

5、个基本事件(已用虚线圈出). 方法三(树状图法):,一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示:,(1)由图知,共36个基本事件. (2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“”标出).,【延伸探究】1.若本例3题设条件不变,求“点数之和不大于7”这一事件包含哪几个基本事件?,【解析】“点数之和不大于7”这一事件,包含21个基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1).,2.若本例3题设条件不变,求“点数之和等于3的倍数”这一事件包含哪几个基本事件? 【解析】“点数之和等于3的倍数”,即点数和为3,6,9,12的情形,共有12个基本事件:(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6).,【方法技巧】基本事件的三个探求方法 (1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来

6、.列举法适合于较为简单的试验问题. (2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验的题目.,(3)树状图法:使用树状的图形把基本事件列举出来.树状图法便于分析基本事件间的结构关系,适用于较复杂的试验的题目.,【补偿训练】先后抛掷3枚均匀的壹分,贰分,伍分 硬币. (1)求试验的基本事件数. (2)求出现“2枚正面,1枚反面”的基本事件数.,【解析】(1)因为抛掷壹分,贰分,伍分硬币时,各自都会出现正面和反面2种情况,所以一共可能出现的结果有8种.可列表如下:,所以试验的基本事件数为8. (2)从上面表格知,出现“2枚正面,1枚反面”的结果有3种,即(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以“2枚正面,1枚反面”的基本事件数为3.,类型二 古典概型的概率计算 【典例】1.从集合A=1,2,3,4中一次随机抽取两个数,则其中一个数是另一个数的2倍的概率是 ( ),2.某幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置儿童节联欢会的会场,每排三个小凳子,并且任何两排不能完全相同.求: (1)假设

7、所需的小凳子足够多,那么,根据要求一共能布置多少排小凳子? (2)每排的小凳子颜色都相同的概率.,【审题路线图】古典概型的概率列出所有的基本事件,查出要求概率的基本事件数,利用公式求解.,【解析】1.选B.从1,2,3,4这四个数中一次抽取两个数, 所有可能的取法有6种,满足“其中一个数是另一个数 的2倍”所有可能的结果有(1,2),(2,4),共2种取法, 所以其中一个数是另一个数的2倍的概率是,2.(1)所有可能的基本事件共有27个,如表所示:,所以一共能布置27排小凳子. (2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A,由上表 可知,事件A的基本事件有3个,故P(A)=,【延伸探究】 若本例2中条件不变,那么每排的小凳子颜色都不同 的概率是多少? 【解析】设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B, 由上表可知,事件B的基本事件有6个,故P(B)=,【方法技巧】求古典概型概率的步骤 (1)判断是否为古典概型. (2)算出基本事件的总数n. (3)算出事件A中包含的基本事件个数m. (4)算出事件A的概率,即P(A)= .,提醒:在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注意这n种结

8、果必须是等可能的.,类型三 较复杂的古典概型概率计算问题 【典例】某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:,若xy3,则奖励玩具一个; 若xy8,则奖励水杯一个; 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.,(1)求小亮获得玩具的概率. (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.,【审题路线图】理解游戏规则列出基本事件查找所求事件的基本事件数计算概率.,【解析】用数对(x,y)表示儿童两次转动转盘记录的数,其活动记录与奖励情况如下:,显然,基本事件总数为16.,(1)xy3情况有5种,所以小亮获得玩具的概率= (2)xy8情况有6种,所以获得水杯的概率= 所以小亮获得饮料的概率=1- 即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.,【方法技巧】解决有序和无序问题应注意两点 (1)关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,

9、观察的角度必须一致,否则会产生错误.,(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一个基本事件.,【变式训练】某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖. (1)求中三等奖的概率. (2)求中奖的概率.,【解析】设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B, 从四个小球中有放回地取两个有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2), (1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1), (3,2),(3,3),共16种不同的结果.,(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有:(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0), 共7种结果, 则中三等奖的概率为P(A)=,(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法 有7种;两个小球号码相加之和等于5的取法有2种: (2,3),(3,2). 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3). 则中奖概率为P(B)=,【补偿训练】一个盒子里装有完全相同的十个小球,分 别标上1,2,3,10这10个数字,现在随机地抽取两个小球,如果: (1)小球是不放回的.(2)小球是有放回的. 分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.,【解析】随机抽取两个小球,记事件A为“两个小球 上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8), (8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5), (7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.,(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y), 共有可能结

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