量子力学chapterfiv
48页1、6 含时微扰理论 7 量子跃迁几率 8 光的发射和吸收,第五章 微扰理论,返回,6 含时微扰理论,(一) 引言 (二)含时微扰理论,返回,(一) 引言,上一章中,定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正,所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间,因而求解的是定态 Schrodinger 方程。,本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰,即:,因为 Hamilton 量与时间有关,所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的,而定态微扰法在此又不适用,这就需要发展与时间有关的微扰理论。,含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数,从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后,体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。,假定 H0 的本征 函数 n 满足:,H0 的定态波函数可以写为:n =n exp-int / 满足左边含时 S - 方程:,定态波函数 n 构成正交完备系,整个体系的波函数 可按 n 展开:,因 H(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。,(二)
2、含时微扰理论,以m* 左乘上式后 对全空间积分,该式是通过展开式 改写而成的 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。,求解方法同定态微扰中使用的方法:,(1)引进一个参量,用 H 代替 H(在最后结果中再令 = 1);,(2)将 an(t) 展开成下列幂级数;,(3)代入上式并按幂次分类;,(4)解这组方程,我们可得到关于an 的各级近似解,近而得到波函数 的近似解。实际上,大多数情况下,只求一级近似就足够了。 (最后令 = 1,即用 Hmn代替 Hmn,用a m (1)代替 a m (1)。),零级近似波函数 am(0)不随时 间变化,它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。,假定t 0 时,体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。而且由于 exp-in t/|t=0 = 1,于是有:,比较等式两边得,比较等号两边同 幂次项得:,因 an(0)不随时间变化,所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。,t 0 后加入微扰,则第一级近似:,an(0)(t) = n k,7 量子跃迁几率,返回,(一)跃迁几率 (二)一阶常微扰 (三)简谐微扰 (四)实例 (五)能
3、量和时间测不准关系,体系的某一状态,t 时刻发现体系处于 m 态的几率等于 | a m (t) | 2,am(0) (t) = mk,末态不等于初态时 mk = 0,则,所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率在一级近似下为:,(一)跃迁几率,(1)含时 Hamilton 量,设 H 在 0 t t1 这段时间之内不为零,但与时间无关,即:,(2)一级微扰近似 am(1),Hmk 与 t 无关 (0 t t1),(二)一阶常微扰,(3)跃迁几率和跃迁速率,极限公式:,则当t 时 上式右第二个分式有如下极限值:,于是:,跃迁速率:,(4)讨论,1.上式表明,对于常微扰,在作用时间相当长的情况下,跃迁速率将与时间无关,且仅在能量m k ,即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下,体系将跃迁到与初态能量相同的末态,也就是说末态是与初态不同的状态,但能量是相同的。,2. 式中的(m -k) 反映了跃迁过程的能量守恒。,3. 黄金定则 设体系在m附近dm范围内的能态数目是(m) dm,则跃迁到m附近一系列可能末态的跃迁速率为:,(1)Hamilton 量,t=0 时加
4、入一个简谐 振动的微小扰动:,为便于讨论,将上式改写成如下形式,F 是与 t无关 只与 r 有关的算符,(2)求 am(1)(t),H(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征态 k 和 m 之间的微扰矩阵元是:,(三)简谐微扰,(2)几点分析,(I) 当 = mk 时,微扰频率 与 Bohr 频率相等时,上式第二项 分子分母皆为零。求其极限得:,第二项起 主要作用,(II) 当 = mk 时,同理有:,第一项起 主要作用,(III) 当 mk 时,两项都不随时间增大,总之,仅当 =mk = (m k)/ 或m =k 时,出现明显跃迁。这就是说,仅当外界微扰含有频率mk时,体系才能从k态跃迁到m态,这时体系吸收或发射的能量是 mk 。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。 因此我们只需讨论 mk 的情况即可。,(3)跃迁几率,当 =m k 时,略去第一项,则,此式与常微扰情况的表达式类似,只需作代换:H mk Fmk , mk mk-,常微扰的结果就可直接引用,于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为:,同理, 对于 = -m k 有:,二式合记之:,(4)跃迁速率,或:,(5)讨论,1. (
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