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2017高中数学课本典例改编之必修四、五：专题四解三角形 (含解析)

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1、专题四解三角形一、题之源：课本基础知识1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C；sin A,sin B,sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos A；cos B；cos C2.三角形中常用的面积公式（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；（3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）；（6）；（7）rs。 3仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图)4方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图,B点的方位角为)5方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45.(3)其他方向角类似二、题之本：思想方法技巧1已知两边及其中一边的对角解三角形时,要谨防漏解2在判断三角形的形状时,一

2、般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用ABC这个结论)或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解,注意等式两边的公因式一般不要约掉,而要移项提取公因式,否则有可能漏掉一种形状3要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列,则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinAsin(BC),cosAcos(BC),sincos,sin2Asin2(BC),cos2Acos2(BC)等4应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解5正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也

3、是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想6.要注意锐角三角形中的隐含条件：任意两内角的和大于例：设锐角三角形的内角的对边分别为,（）求的大小；（）求的取值范围【解】（）由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得三、题之变：课本典例改编1.原题（必修5第3页例1）改编中,角所对的边分别为,若,则的值为（）【解析】先求出,再求出,最后用一次正弦定理即得.选D.2.原题（必修5第10页习题1.1A组第2题）改编1 在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）Aa=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A=C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A=【解析】C.改编2 在ABC中,已知,B=45 ,求A、C及c.3.原题（必修5第10页习题1.1B组第2题）改编（2010辽宁）在ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且（）求A的大小；（）求的最大值.【解析】（）由已知,根据正弦定理得即,由余弦定理得 ,

4、故,A=120 （）由（）得：故当B=30时,sinB+sinC取得最大值1. 4.原题（必修5第11页例2）改编如图,为了测量河对岸两个建筑物C、D之间的距离,在河岸这边取两点A、B,测得BAC=45,DAC=75,ABD=30,DBC=45.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面内,试求C、D之间的距离.5.原题（必修5第19页习题1.2A组第1题）改编一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,从A点观测灯塔C的方位角为30,行驶60海里后,船在B点观测灯塔C的方位角为45,求A到C的距离【解析】A到C的距离为海里6.原题（必修5第81页习题3.2B组第四题）改编如图,气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风,在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏台风中心正从海岸M点登陆,并以72千米/时的速度沿北偏西60的方向移动已知M点位于A城的南偏东15方向,距A城千米；M点位于B城的正东方向,距B城千米假设台风在移动过程中,其风力和方向保持不变,请回答下列问题：（1）A城和B城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；（2）若受到此次台风侵袭,该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【解析】（1）A城不会受到台风影响：B城会受到台风影响；（2）小时；

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