高数d13一元函数积分学

1、,二、典型例题分析与解答,第四、五、六章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数积分学(40),一、知识点与考点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,(一)不定积分,若,1.原函数与不定积分的定义:,有,则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原,设函数 f (x)在区间 I 内有定义,函数.,称为 f (x),在区间 I 上的不定积分,记为,f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c ,2. 不定积分的性质:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1).,4.基本积分公式,(2),(互逆运算),(1),3.不定积分与微分的关系,(2).,(3).,(4).,(5).,(6).,(7).,(8).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(9).,(10).,(11).,(12).,(13).,(14).,(15).,(16).,(17).,(18).,(19).,(20).,(21).,(22).,5.基本积分法:,(1).直接积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)换元积分法,第一类换元积分法(凑微分法),常用凑微分公式

2、:,第二类换元积分法(变量代换法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(正弦代换),(正切代换),(正割代换),(根式代换),三角代换,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,万能代换:,积分步骤:,凑微分选 u , v ;,(3) 分部积分法,代公式;,算微分 ;,求积分.,例1.,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 有理函数的积分,有理函数:,时,为真分式;,时,为假分式 .,利用多项式综合除法,总可以将一个假分式化为一个多,项式与一个真分 式之和的形式 . 例如:,_,_,任何有理真分式通过部分分式均可化为下列四种,类型:,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,有理真分式的积分,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),(不作要求),(4),注:,但计算相当复杂,解题时应,尽量寻求更为简便的方法,如凑微分法倒代换法等,有理函数虽然一定可积,避免使命一般方法.,例2. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,去分母,得恒等式,令,得

3、,再令,得,(3) 用比较系数法,去分母,得恒等式,或,比较恒等式两边 x 同次幂的系数得,(4) 综合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,去分母,得恒等式,令,得,得,再令,得,比较,项的系数, 得,1.定积分的定义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二) 定积分,(七条性质二条推论),2.定积分的几何意义:,3.定积分的性质:,曲边梯形面积的代数和.,(1),(2),(3),则有,(4),则有,(5),则有,推论1.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(6) (定积分估值定理),若 M 和 m 分别是 f (x) 在a ,b上的最大值和最小值,则有,(7).(定积分中值定理),若f (x) 是a ,b上的连续函数,则在a ,b上至少存在,一点 ,使等式,推论2.,成立.,补充规定:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 定积分计算法,(1)牛顿-莱布尼兹公式,(2) 当a = b 时,(2) 定积分换元积分法,(3),(3).定积分分部积分法,5.重要公式,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),若f (x)为a ,a上的奇函数,则

4、,若f (x)为a ,a上的偶函数,则,(3),n为奇数,n为偶数,注意:余弦函数无此性质!,(4) 若f (x)是周期为T的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a为任意实数,(三) 广义(反常)积分,1.无穷区间的广义积分,则有:,2.无界函数的广义积分(略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.定积分在几何上的应用:,(1). 平面图形的面积, 直角坐标,1.定积分微元法,若整体量U在区间a ,b上具有可加性,即有,而局部量 U du = f (x) dx,则,(四)定积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,起点x = a 对应参数 t = ,按顺时针方向决定起点与终点.,终点x = b 对应参数 t = ,参数方程,(2)旋转体的体积,令,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、典型例题分析与解答,且 f (1) = 0 ,则 f (x) = _.,解:,则,代入,由 f (1) = 0 ,得c = 0 .,故,应填,注释:,的理解和分部积分法.,解决此类问题的方法是先作变量代换求出,本题考查对于导函数,然后,积分就可求得,例3.,例4.,机动 目录

5、上页 下页 返回 结束,解法1:,被积函数是两类函数相乘,应使用分部积分法.,原式=,计算不定积分,原式=,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2:,则,令,本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.,注释:,解法1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,求不定积分,解法2:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.,例6.,求不定积分,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1:,解法2:,由半角公式得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3:,用万能代换,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查三角函数有理式的不定积分.,例7.,求定积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,注释:,本题考查定积分的分部积分法.,例8. 填空题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,应填,解:,本题考查定积分的分部积分法.,例9.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式=,且 x = 1时, t = 1,注释:,本题考查定积分的换元积分法.,x = 3时,

6、 t = 1.,例10. 填空题,注释:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,本题考查广义积分的计算.,应填 1.,例11.选择题,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则当x0 时,因为,因此应选(B).,(A) 等价无穷小;,(B) 同阶但非等价无穷小;,(C) 高阶无穷小;,(D) 低阶无穷小.,B,注释:,本题考查变上限积分的求导及无穷小的比较.,f (x) 是 g (x)的( ).,故当x0时,f (x)是g (x)的同阶但,非等价的无穷小.,例12.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则有( ).,所以有 P M N .,分析:,题中三个积分的积分区间都关于原点对称,因此,(A) N P M ;,(B) M P N ;,(C) N M P ;,(D) P M N .,首先应考虑被积函数的奇偶性.,由被积函数的奇偶性可知:,M = 0 .,选项(D)正确.,D,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,解:,由题设条件对 f (x) 的图形进行分析,则有( ) .,设在区间a ,b上f (x) 0 ,易知曲线 f (x),在 x 轴上方,

7、单调下降且为凹弧,并依题意画示意图.,表示曲边梯形ABCD的面积,表示矩形ABCE的,表示梯形ABCD的面积,显然有,故选项(B)正确.,B,面积,例14.,在点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)求D的面积A ;,解:,过坐标原点作曲线y =lnx 的切线,(2) 求D绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.,依题意画图如下.,所求图形面积为,(1)设切点横坐标为,该切线与曲线y =lnx 及x轴围成平面图形D.,则曲线lnx,的切线方程为,由于该切线过原点,所以有,即有,该切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,体积微元为,图中阴影部分窄条绕直线x = e旋转所得,(2) 用微元法.,旋转体体积为,注释:,本题考查平面图形的面积和旋转体体积的计算.,解决此类问题的关键是熟练掌握定积分的微元法.,例15.,面图形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f (x) 在区间a ,b上连续,的3倍.,依题意画示意图如下:,在(a , b)内存在唯一的 ,y = f (x)与两直线 y = f ( ) , x = a 所围平面图形的面,积,是曲线 y = f (x) 与两直线 y = f ( ) , x = b 所围平,证明:,且在(a , b)内,使曲线,分析:,先用变上限积分表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,构造辅助函数,然后由题设,使问题转化为证明函数,F (x) 在(a ,b) 内有唯一零点 的问题.,证:,令,其中,显然 F (x) 在a ,b 上连续.,又有,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,于是,即,由连续函数的介值定理知,使F ( ) = 0 ,至少存在一点,即,使, 的唯一性可由F (x) 的单调性得到.,所以F (x)在a ,b上单调增加,故在(a ,b) 内只有一个 ,证毕.,

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