梁的挠度及转角（1）

1、Displacements of Bending Beam,5-1 Deflection and Slope of Beam,5-1梁的挠度及转角,1.弯曲变形的弊与利,2.挠曲线（deflection curve),3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope),4.弯曲位移的符号规则,1.弯曲变形的弊与利,使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。,设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的物理条件求弯曲静不定问题。,1.弯曲变形的利弊,使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。,设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。,梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。,5-1 Deflection and Slope of Beam,对梁进行刚度计算 解超静定梁,本课程研究梁弯曲变形的 两个目的,连续性假设 梁的轴线将由原来的水平直线变成一条连续平坦(flat)的曲线挠曲线。,平面假设 梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变形后的轴线。,两个基本假设在研究梁弯曲变形时的作用,2.挠曲线（deflection curve

2、),挠度（deflection）w横截面形心在垂直于轴线方向的位移。,转角（slope）横截面绕其中性轴转过的角度。,水平位移u 横截面形心沿水平方向的位移,在小位移假设时忽略不计。,B ,C ,u,直梁平面弯曲的两种位移,3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）, 很小 tg=dy/dx= f (x) 转角方程 =y = f (x) (b),tg = dy/dx = y ,挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线,4.符号规定 挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正,挠曲方程 W =y= f(x) （a）,5. EXAMPEL,5-2 梁的挠曲线近似微分方程式及其积分,1、挠度和转角的关系,2、建立挠曲线微分方程,3、积分法计算梁的位移,4、由边界条件确定积分常数,结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。,挠曲线 y=f(x) 上任 意点的切线斜率为：,1、挠度和转角的关系,2、建立挠曲线微分方程,（1）物理方面:,（2）几何方面：,E Iz y= - M(x),(5-2b),积分法、叠加法、奇异函数法、能量法、图解法

3、、有限差分法、初参数法,挠曲线近似微分方程,4-4,3 积分法计算梁的位移,4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。,1）基本方程：EIzy= - M(x) （5-2b）,2）一次积分获转角方程 EIzy= - M(x) dx+c （5-3a）,3）二次积分获挠度方程 （5-3b） EIzy= - M(x) dx dx +Cx+D,C、D为方程的积分常数,中间铰,4、由边界条件确定积分常数,悬臂梁的固定端处,（1）约束条件（ constraint condition ）,x=0 ：,=0 y=0, 简支梁的支座处,x=0 ：,y A=0;,x=L ：,y B=0,(2)连续条件（continuity condition ）,x=a：,yB左= yB右,B左= B右,x=a：,yB左= yB右,外伸梁B端连续条件,x=4，,yB左= yB右,yB=0；,B左= B右,5.EXANPEL,！： 挠曲线近似微分方程的适用范围,1）均匀材料与等直截面梁EI为常值。 2）M(x)是连续函数。 3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。 4),例5-1：求悬臂梁B截面的转角

4、和B截面挠度，设 ：梁长为L，EI = 常数 。,列挠曲线近似微分方程,求约束反力 YA=F mA= FL,EI y= EI = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,列弯矩方程 M(x)=Fx-FL,求位移方程,A,5.EXANPEL,EI y= = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,确定积分常数 x=0 A= 0 yA= 0 C=0 D=0 y= = F (Lx - x2/2) /EI y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI 求B截面转角和位移将 x=L 代入,例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：,求约束反力,列弯矩方程,求位移方程,列挠曲线近似微分方程,确定积分常数,求最大挠度和位移,EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,挠曲线方程和转角方程,最大挠度

5、和最大转角,5-3 按叠加原理计算梁的挠度及转角,1. 叠加原理的适用范围,2.叠加原理 1)力的分解法- 2)梁的分段法-,5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and Its Integration,1. 叠加原理的适用范围,在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.,2.叠加原理 ）梁在几项荷载同时作用下某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加,表明荷载对梁变形的影响是独立的,例：简支梁受集中力和集中力偶。求：A、B两端转角和中点挠度。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI m：A2、B2、yc2,解：将梁分为力F和力偶m单独作用的情况：,=,力的分解法,B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI,yc= yc1 + yc2 = FL3/48

6、EI +mL2/16EI,A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI,力的分解法-各横截面的位移或转角等于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠度和转角代数和。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI,m：A2、B2、yc2,例5-5：简支梁在半跨度上作用荷载q，求梁中点的挠度。,=,+,加平衡力系再分解 -”加减法”,2几项荷载同时作用在梁的不同区段上，梁某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用于梁各区段时该截面的挠度和转角的叠加,EXAMPLE 求图示梁的最大转角和最大挠度。,解 ：,1 建立坐标系并写出弯矩方程,例：计算悬臂梁的挠度yc。,解： 1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下： 查表： yB= qa4/8EI， B= qa3/6EI 2、把梁BC看作梁AB的延伸部分，仍保持为直线。 由于小变形： yC= yB + Ba yc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （）,例：求 C截面挠度和转角。,(1) yc1 = -7qa4/24EI() yc2 = q（2a）4/8EI() yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI() B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI,=,+,作业,Skt-5-1,5-2 Xt-5-1, 11.7 11月14日 SKT 5-7 XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25,

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