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【新步步高】2016-2017学年高一数学北师大版必修4课件：1.6 余弦函数的图像与性质

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常见问题

1、6 余弦函数的图像与性质,明目标知重点,填要点记疑点,探要点究所然,内容索引,01,02,03,当堂测查疑缺,04,1.会用“五点法”作余弦函数的图像. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值,明目标、知重点,1.余弦函数ycos x(xR)的图像叫作 .ycos x, x0,2的图像上起关键作用的五个点为 , , , , .,填要点记疑点,(0,1),(,1),(2,1),2.余弦函数的性质,R,余弦曲线,1,1,偶函数,2k,2k(kZ),2k,2k(kZ),2k(kZ),1,2k(kZ),1,探要点究所然,情境导学,探究点一五点法作余弦曲线,思考请你在下面所给的坐标系中画出ycos x,x0,2的图像.,答,例1 画出ycos x(xR)的简图,并根据图像写出：,解用“五点法”作出ycos x的简图.,反思与感悟利用三角函数的图像或三角函数线,可解简单的三角函数不等式,但需注意解的完整性.,解由题意,得x满足不等式组,结合图像可得：,探究点二余弦函数的奇偶性、单调性,导引,(1)从余弦曲线可以看出余弦函数ycos x的定义域是R,值域是1

2、,1. (2)余弦曲线关于y轴对称,由诱导公式可知cos(x)cos x,所以说余弦函数是偶函数.,思考1 观察余弦曲线,余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在,其最大值和最小值分别为多少？答余弦函数存在最大值和最小值,分别是1和1. 思考2 当自变量x分别取何值时,余弦函数ycos x取得最大值1和最小值1? 答对于余弦函数ycos x,xR有：当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1；当且仅当x(2k1),kZ时,取得最小值1.,思考3 观察余弦曲线,余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答余弦函数是周期函数,且周期是2,首先研究它在一个周期区间上函数值的变化情况,再推广到整个定义域.函数ycos x,x,的图像如图所示：,观察图像可知：当x,0时,曲线逐渐上升,是增函数,cos x的值由1增大到1；当x0,时,曲线逐渐下降,是减函数,cos x的值由1减小到1. 推广到整个定义域可得：当x2k,2k,kZ时,余弦函数ycos x是增函数,函数值由1增大到1；当x2k,(2k1),kZ时,余弦函数ycos x是减函数,函数

3、值由1减小到1.,例2 求函数ylog (cos 2x)的增区间.,解由题意得cos 2x0且ycos 2x递减.,反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.,跟踪训练2 比较下列各组数的大小.,(1)sin 46与cos 221；解 sin 46cos 44cos 136, cos 221cos 41cos 139. 1801391360, 且ycos x在0,180上递减, cos 139cos 221.,例3 求下列函数的值域. (1)ycos2xcos x；,当cos x1时,ymin2.,1cos x1,12cos x3,反思与感悟求值域或最大值、最小值问题,一般依据为： (1)sin x,cos x的有界性；(2)sin x,cos x的单调性；(3)化为 sin xf(y)或cos xf(y)利用|f(y)|1来确定；(4)通过换元转化为二次函数.,跟踪训练3 求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.(提示：sin2cos21) 解

4、 ycos2x4sin x1sin2x4sin x sin2x4sin x1(sin x2)25. 当sin x1,即x2k ,kZ时,ymax4；当sin x1,即x2k ,kZ时,ymin4. ymax4,此时x的取值集合是x|x2k ,kZ； ymin4,此时x的取值集合是x|x2k ,kZ.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1,2,3,4,f(x)cos 2x. 又f(x)cos(2x)cos 2xf(x), f(x)是最小正周期为的偶函数. 答案 B,1,2,3,4,2.方程x2cos x0的实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析作函数ycos x与yx2的图像易知有2个交点.,C,1,2,3,4,3.设0x2,且|cos xsin x|sin xcos x,则x的取值范围为 .,解析由题意知sin xcos x0,即cos xsin x,在同一坐标系画出ysin x,x0,2与ycos x,x0,2的图像,如图所示：,1,2,3,4,4.(1)已知f(x)的定义域为0,1),求f(cos x)的定义域；,所求函数的定义域为,(2)求函数ylg sin(cos x)的定义域. 解由sin(cos x)02kcos x2k(kZ). 又1cos x1,0cos x1.,呈重点、现规律,1.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 2.求三角函数值域或最值的常用求法 (1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围. (2)将sin x或cos x用所求变量y来表示,如sin xf(y),再由|sin x|1,构建关于y的不等式|f(y)|1,从而求得y的取值范围.,

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