数学必修二第二章测试题(含答案)

1、第二章综合检测题第二章综合检测题时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D平行或异面 2平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共 面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 3已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交 C垂直 D异面 4长方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AB，A1D1所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 5对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )Aa，b Ba，b Ca，b Da，b 6下面四个命题：若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面； 若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； 若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等； 若 ab，bc，则 ac. 其中真命题的个数为( ) A4 B3 C2 D1 7在正方体 ABCDA1B

2、1C1D1中，E，F 分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果 A1EB1F，有下面四个 结论： EFAA1；EFAC；EF 与 AC 异面；EF平面 ABCD. 其中一定正确的有( ) A B C D 8设 a，b 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A若 a，b 与 所成的角相等，则 abB若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，b，则 ab 9已知平面 平面 ，l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，n，则下列四种位置关系中，不一定成 立的是( ) AABm BACm CAB DAC 10(2012大纲版数学(文科)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值 为( )A B. .4535C. D3435 11已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC ，BC2，则以 BC 为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余3弦值为( )A. B. C0 D331312 12如图所示，点 P 在正方形 ABC

3、D 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90 B60 C45 D30 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填 在题中的横线上) 13下列图形可用符号表示为_14正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 C1ABC 的平面角 等于_ 15设平面 平面 ，A，C，B，D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论： ACBD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 成 60的角； AB 与 CD 所成的角是 60. 其中正确结论的序号是_ 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17(10 分)如下图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 与 A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中 点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1. 分析

4、 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定 理，寻找使结论成立的充分条件 18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90， E 是 CD 的中点(1)证明：CD平面 PAE； (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的 角相等，求四棱锥 PABCD 的体积 19(12 分)如图所示，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2，M 为 BC 的中点2(1)证明：AMPM； (2)求二面角 PAMD 的大小 20(本小题满分 12 分)(2010辽宁文，19)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1； (2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A1DDC1的 值21(12 分)如图，ABC 中，ACBCAB，ABED 是边长为22 1 的正方形，平面 ABED底面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中 点(1)求证：GF底面 ABC；

5、(2)求证：AC平面 EBC； (3)求几何体 ADEBC 的体积 V. 分析 (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)转化为证明 AC 垂直于平面 EBC 内的两条相交直线 BC 和 BE；(3)几何 体 ADEBC 是四棱锥 CABED. 22(12 分)如下图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点(1)求证：ACBC1； (2)求证：AC1平面 CDB1； (3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值详解答案 1答案 D 2答案 C 解析 AB 与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1相交的有：CD、C1D1与 CC1平行且与 AB 相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有 BC，故共有 5 条3答案 C解析 1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直4答案

6、D 解析 由于 ADA1D1，则BAD 是异面直线 AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.5答案 B 解析 对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时，A 错误；对于选项 B，若 a，b 不相交，则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使a，b，B 正确；对于选项 C，a，b，一定有 ab，C 错误；对于选项 D，a，b，一定有 ab，D 错误6答案 D 解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中，a 与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7答案 D 解析 如图所示由于 AA1平面 A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以正确；当 E，F 分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确；当 E，F 分别不是线段 A1B1，B1C1的中点时，EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1平面 ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以 EF平面 ABCD，所以正确8答案 D 解析 选项 A 中，a，b 还可能相交或异面，所以 A 是假命题；

7、选项 B 中，a，b 还可能相交或异面，所以 B 是假命题；选项 C 中， 还可能相交，所以 C 是假命题；选项 D 中，由于 a，则 a 或 a，则 内存在直线 la，又 b，则 bl，所以 ab.9答案 C 解析 如图所示：ABlm；ACl，mlACm；ABlAB.10答案 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所35成角的求解的运用解析 首先根据已知条件，连接 DF，然后则角 DFD1即为异面直线所成的角，设边长为 2，则可以求解得到DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论511答案 C 解析 取 BC 中点 E，连 AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED 为二面角 ABCD 的平面角又 AEED，AD2，AED90，故选 C.212答案 B 解析 将其还原成正方体 ABCDPQRS，显见 PBSC，ACS为正三角形，ACS60.13答案 AB 14答案 45 解析 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，则C1BC 是二面角 C1ABC 的平面角又BCC1是等腰直角三角形，则C1BC45.15答案 9 解析 如下图所示，连接 AC，BD，

8、则直线 AB，CD 确定一个平面 ACBD.，ACBD，则， ，解得 SD9.ASSBCSSD8612SD16答案 解析 如图所示，取 BD 中点，E 连接 AE，CE，则BDAE，BDCE，而 AECEE，BD平面 AEC，AC平面AEC，故 ACBD，故正确设正方形的边长为 a，则 AECEa.22由知AEC90是直二面角 ABDC 的平面角，且AEC90，ACa，ACD 是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面 BCD，故ABE 是 AB 与平面 BCD所成的角，而ABE45，所以不正确分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN.则 MNAB，且 MN AB a，1212MECD，且 ME CD a，1212EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角在 RtAEC 中，AECEa，ACa，22NE AC a.MEN 是正三角形，EMN60，故正1212确17证明 (1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，F、F1分别是 AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1.又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.18解析 (1)如图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90，得AC5.又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE.PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD.而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF.由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB与平面 PAE

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