数学必修二第二章测试题(含答案)

第二章综合检测题第二章综合检测题时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D平行或异面 2平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共 面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 3已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交 C垂直 D异面 4长方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AB，A1D1所成的角等于( ) A30° B45° C60° D90° 5对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )Aa，b Ba，b Ca，b Da，b 6下面四个命题：若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面； 若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； 若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等； 若 ab，bc，则 ac. 其中真命题的个数为( ) A4 B3 C2 D1 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果 A1EB1F，有下面四个 结论： EFAA1；EFAC；EF 与 AC 异面；EF平面 ABCD. 其中一定正确的有( ) A B C D 8设 a，b 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A若 a，b 与 所成的角相等，则 abB若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，b，则 ab 9已知平面 平面 ，l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，n，则下列四种位置关系中，不一定成 立的是( ) AABm BACm CAB DAC 10(2012·大纲版数学(文科)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值 为( )A B. .4535C. D3435 11已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC ，BC2，则以 BC 为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余3弦值为( )A. B. C0 D331312 12如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90° B60° C45° D30° 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填 在题中的横线上) 13下列图形可用符号表示为_14正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 C1ABC 的平面角 等于_ 15设平面 平面 ，A，C，B，D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论： ACBD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 成 60°的角； AB 与 CD 所成的角是 60°. 其中正确结论的序号是_ 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17(10 分)如下图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 与 A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中 点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1. 分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定 理，寻找使结论成立的充分条件 18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90°， E 是 CD 的中点(1)证明：CD平面 PAE； (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的 角相等，求四棱锥 PABCD 的体积 19(12 分)如图所示，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2，M 为 BC 的中点2(1)证明：AMPM； (2)求二面角 PAMD 的大小 20(本小题满分 12 分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1； (2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A1DDC1的 值21(12 分)如图，ABC 中，ACBCAB，ABED 是边长为22 1 的正方形，平面 ABED底面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中 点(1)求证：GF底面 ABC； (2)求证：AC平面 EBC； (3)求几何体 ADEBC 的体积 V. 分析 (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)转化为证明 AC 垂直于平面 EBC 内的两条相交直线 BC 和 BE；(3)几何 体 ADEBC 是四棱锥 CABED. 22(12 分)如下图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点(1)求证：ACBC1； (2)求证：AC1平面 CDB1； (3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值详解答案 1答案 D 2答案 C 解析 AB 与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1相交的有：CD、C1D1与 CC1平行且与 AB 相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有 BC，故共有 5 条3答案 C解析 1°直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2°l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3°l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直4答案 D 解析 由于 ADA1D1，则BAD 是异面直线 AB，A1D1所成的角，很明显BAD90°.5答案 B 解析 对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时，A 错误；对于选项 B，若 a，b 不相交，则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使a，b，B 正确；对于选项 C，a，b，一定有 ab，C 错误；对于选项 D，a，b，一定有 ab，D 错误6答案 D 解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中，a 与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7答案 D 解析 如图所示由于 AA1平面 A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以正确；当 E，F 分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确；当 E，F 分别不是线段 A1B1，B1C1的中点时，EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1平面 ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以 EF平面 ABCD，所以正确8答案 D 解析 选项 A 中，a，b 还可能相交或异面，所以 A 是假命题；选项 B 中，a，b 还可能相交或异面，所以 B 是假命题；选项 C 中， 还可能相交，所以 C 是假命题；选项 D 中，由于 a，则 a 或 a，则 内存在直线 la，又 b，则 bl，所以 ab.9答案 C 解析 如图所示：ABlm；ACl，mlACm；ABlAB.10答案 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所35成角的求解的运用解析 首先根据已知条件，连接 DF，然后则角 DFD1即为异面直线所成的角，设边长为 2，则可以求解得到DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论511答案 C 解析 取 BC 中点 E，连 AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED 为二面角 ABCD 的平面角又 AEED，AD2，AED90°，故选 C.212答案 B 解析 将其还原成正方体 ABCDPQRS，显见 PBSC，ACS为正三角形，ACS60°.13答案 AB 14答案 45° 解析 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，则C1BC 是二面角 C1ABC 的平面角又BCC1是等腰直角三角形，则C1BC45°.15答案 9 解析 如下图所示，连接 AC，BD，则直线 AB，CD 确定一个平面 ACBD.，ACBD，则， ，解得 SD9.ASSBCSSD8612SD16答案 解析 如图所示，取 BD 中点，E 连接 AE，CE，则BDAE，BDCE，而 AECEE，BD平面 AEC，AC平面AEC，故 ACBD，故正确设正方形的边长为 a，则 AECEa.22由知AEC90°是直二面角 ABDC 的平面角，且AEC90°，ACa，ACD 是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面 BCD，故ABE 是 AB 与平面 BCD所成的角，而ABE45°，所以不正确分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN.则 MNAB，且 MN AB a，1212MECD，且 ME CD a，1212EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角在 RtAEC 中，AECEa，ACa，22NE AC a.MEN 是正三角形，EMN60°，故正1212确17证明 (1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，F、F1分别是 AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1.又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.18解析 (1)如图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90°，得AC5.又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE.PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD.而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF.由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB与平面 PAE