12.3 角平分线的性质和判定(共66张ppt)

1、角平分线的性质,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?,探究1：,E,角的平分线的作法,证明： 在ACD和ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）,尺规作角的平分线,观察领悟作法，探索思考证明方法：,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC， OMC ONC

2、（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的对应边相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2, 1= 2PD OA ，PE OB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,练习, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（

3、）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习,如图， OC是AOB的平分线， 又 _ PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD.,在ABC中， C=90 ，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。,如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,这节课我们学习了哪些知识？,小 结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；,2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。, OC是AOB的平分线,又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).,几何语言:,，,1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？,1 . 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 E

4、BF= 度，BE= 。,60,BF,2 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。,角的平分线,6cm,练习,3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,你会吗？,例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边、所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼！,如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？,议一议,到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,已知：如图， ， ，垂足分别是A、B，PD=

5、PE ，求证：点P在 的角平分线上。,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，求证：点P在 的角平分线上。,证明：,作射线OP, 点P在 角的平分线上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP = OP （公共边）,PD = PE （ 已 知 ）,角平分线的判定,角平分线的判定的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,PD = PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,练一练,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，

6、且BECF。 求证：AD是ABC的角平分线。,1.已知：如图，BEAC于E， CFAB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分BAC 。,课堂练习,拓展与延伸,2.已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF, 求证:点F在A的平分线上.,3、已知PA=PB， 1+ 2=1800，求证：OP平分AOB,A,O,B,P,1,2,E,F,E,D,F,M,N,例题2.如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在A的平分线上。,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知） PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边 AB、BC、CA的距离相等,随堂练习,1.已知：如图，ABC的B的外角的平分线BD和 C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在BAC的平分线上。,D,E,2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问

7、加油站该选在什么位置上？,例1 已知：在等腰RtABC中，AC BC，C90，AD平分 BAC，DEAB于点E。求证：BDDE AC,变式 已知AB 15cm, 求DBE的周长,E,D,C,B,A,1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,2、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点 F,CF=BF, 求证:点F在A的平分线上.,1、画一个已知角的角平分线；,及画一条已知直线的垂线；,2、角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3、角平分线的判定结论：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。,课堂小结,判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,用数学语言表示为：,1.全等三角形的性质:,对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。,2.全等三角形的判定:,知识点,一般三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS,直角三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS、HL,知识点,3.三角形全等的证题思路：,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE（已知） 点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）,二.角的平分线： 1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB于D，PEBC于E,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,

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