高数线性代数第二章 方阵的行列式b
67页1、线性代数 第二章,第二章 方阵的行列式,本章教学内容 1 n阶行列式的定义 2 方阵行列式的性质 3 展开定理与行列式的计算,1 n阶行列式的定义,1.排列与逆序数 定义 由1,2,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2 in称为一个n级排列,简称排列. 例 3级排列:123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123,从小到大排,全顺; 排列132,32,但3排在2之前,即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2 in中,若it is中,但it排在 is之前,则称it与is组成一个逆序.i1 i2 in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2 in).,1 n阶行列式的定义,公式 若排列i1 i2 in中, it之后有kt个数比it小 (t=1,2,n-1),则(i1 i2 in)=k1+k2+ kn-1. 例 (53421)= (52431)= 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列; 例 (53421)=9, 53421为奇排列; (52431)=8, 52431为偶排列。,作一次对
2、换,改变了排列 的奇偶性,1 n阶行列式的定义,定义 将一个排列的两个元素对调,而其余元素 不动,这种构成一个新排列的变换称为对换. 定理1.1 一次对换必改变排列的奇偶性. (证略) 例1 设3x452y是一个6级奇排列,求x,y. 解 (314526)=2+0+1+1+0=4, 314526是偶排列,364521是奇排列, x=6, y=1. 推论 所有n级排列中奇偶排列各占一半,,例 n级排列n(n-1) 21是奇排列还是偶排列? 解 (n(n-1) 21)=(n-1)+(n-2)+1 所以当n=4k或n=4k+1时,n(n-1) 21是偶排列; 当n=4k+2或n=4k+3时,n(n-1) 21是奇排列. (上述n为正整数,k为整数),1 n阶行列式的定义,2. n阶行列式的定义 我们已学过二阶行列式与三阶行列式 二阶行列式 例,一种 算式,行列式 的值,1 n阶行列式的定义,三阶行列式 例 下面我们来观察三阶行列式的值的特点,1 n阶行列式的定义,三阶行列式 1.右边每项都是三个元素的乘积,这三个元素位于 行列式的不同行、不同列,除正负号外均可写成 的形式,第一个下标(行标)
3、排成标准排列123,第 二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3,3级排列共 有3!=6个,故右边共有6项。,1 n阶行列式的定义,三阶行列式 2. 带正号的三项,列标排成排列123, 231, 321, 均 是偶排列;带负号的三项,列标排成排列321, 213, 132, 均是奇排列,因此三阶行列式的值可写为,表示对所有不同的3级排列求和,1 n阶行列式的定义,仿三阶行列式,可定义n阶行列式 定义1.1 n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA. 也称为n阶行列式. 注1. 均布项共有n!个,一半取正号, 一半取负号; 2. 当n3时,不宜用“对角线法则”计算行列式的值,表示对所有不同的n级排列求和,均布项,符号因子,来自不同行 不同列的n 个元素的积,1 n阶行列式的定义,3.一阶行列式 a11= a11, 例 一阶行列式 -2=-2,(这不是绝对值) 4.行列式的值也可定义为,1 n阶行列式的定义,例2 证明 证 当ij时,aij=0, 则j1=1, j2=2, jn=n,即可能不等于零的均布项只有a11a22 ann, 又(12 n)=0,即此项的符号为正号, 所 以
4、D= a11a22 ann,1 n阶行列式的定义,仿例2 证明可知,1 n阶行列式的定义,例4 其中A11,A22, 为方阵. 例,1 n阶行列式的定义,更一般的有,1 n阶行列式的定义,本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念,会求一个排列的逆序数,会判断一个排列的奇偶性; 理解行列式的概念,会判断某一个均布项的符号,熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式的值。 作业:习题2.1(A) 第1(1), 3, 5题,2 n阶行列式的性质,本节教学内容 1. 行列式的性质 2.方阵行列式的性质,2 n阶行列式的性质,1.行列式的性质 为了方便行列式的计算,我们来讨论 行列式 的性质.,2 n阶行列式的性质,性质2.1 行列式具有分行可加性,即,1 n阶行列式的定义,证,2 n阶行列式的性质,性质2.2 设A为方阵,则AT=A 证 性质2表明,行列式对行成立的性质,对列也 成立. 由性质1、2有,2 n阶行列式的性质,性质 2.1 行列式具有分列可加性,即,2 n阶行列式的性质,例 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零,则行列 式的值为零. 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零,因
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