高数线性代数第二章 方阵的行列式b

线性代数 第二章,第二章 方阵的行列式,本章教学内容 §1 n阶行列式的定义 §2 方阵行列式的性质 §3 展开定理与行列式的计算,§1 n阶行列式的定义,1.排列与逆序数 定义 由1,2,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2 in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，32,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2 in中,若it is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2 in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2 in).,§1 n阶行列式的定义,公式 若排列i1 i2 in中, it之后有kt个数比it小 (t=1,2,n-1),则(i1 i2 in)=k1+k2+ kn-1. 例 (53421)= (52431)= 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列； 例 (53421)=9, 53421为奇排列； (52431)=8, 52431为偶排列。,作一次对换,改变了排列 的奇偶性,§1 n阶行列式的定义,定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素 不动，这种构成一个新排列的变换称为对换. 定理1.1 一次对换必改变排列的奇偶性. (证略) 例1 设3x452y是一个6级奇排列，求x,y. 解 (314526)=2+0+1+1+0=4, 314526是偶排列，364521是奇排列， x=6, y=1. 推论 所有n级排列中奇偶排列各占一半，,例 n级排列n(n-1) 21是奇排列还是偶排列？ 解 (n(n-1) 21)=(n-1)+(n-2)+1 所以当n=4k或n=4k+1时，n(n-1) 21是偶排列； 当n=4k+2或n=4k+3时，n(n-1) 21是奇排列. (上述n为正整数，k为整数),§1 n阶行列式的定义,2. n阶行列式的定义 我们已学过二阶行列式与三阶行列式 二阶行列式 例,一种 算式,行列式 的值,§1 n阶行列式的定义,三阶行列式 例 下面我们来观察三阶行列式的值的特点,§1 n阶行列式的定义,三阶行列式 1.右边每项都是三个元素的乘积，这三个元素位于 行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成 的形式，第一个下标(行标)排成标准排列123，第 二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3，3级排列共 有3!=6个，故右边共有6项。,§1 n阶行列式的定义,三阶行列式 2. 带正号的三项，列标排成排列123, 231, 321, 均 是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321, 213, 132, 均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为,表示对所有不同的3级排列求和,§1 n阶行列式的定义,仿三阶行列式，可定义n阶行列式 定义1.1 n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA. 也称为n阶行列式. 注1. 均布项共有n!个，一半取正号, 一半取负号； 2. 当n3时，不宜用“对角线法则”计算行列式的值,表示对所有不同的n级排列求和,均布项,符号因子,来自不同行 不同列的n 个元素的积,§1 n阶行列式的定义,3.一阶行列式 a11= a11, 例 一阶行列式 -2=-2，(这不是绝对值) 4.行列式的值也可定义为,§1 n阶行列式的定义,例2 证明 证 当ij时，aij=0, 则j1=1， j2=2， jn=n，即可能不等于零的均布项只有a11a22 ann， 又(12 n)=0,即此项的符号为正号， 所 以D= a11a22 ann,§1 n阶行列式的定义,仿例2 证明可知,§1 n阶行列式的定义,例4 其中A11,A22, 为方阵. 例,§1 n阶行列式的定义,更一般的有,§1 n阶行列式的定义,本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性； 理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符号，熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式的值。 作业：习题2.1(A) 第1(1), 3, 5题,§2 n阶行列式的性质,本节教学内容 1. 行列式的性质 2.方阵行列式的性质,§2 n阶行列式的性质,1.行列式的性质 为了方便行列式的计算，我们来讨论 行列式 的性质.,§2 n阶行列式的性质,性质2.1 行列式具有分行可加性，即,§1 n阶行列式的定义,证,§2 n阶行列式的性质,性质2.2 设A为方阵，则AT=A 证 性质2表明，行列式对行成立的性质，对列也 成立. 由性质1、2有,§2 n阶行列式的性质,性质 2.1 行列式具有分列可加性，即,§2 n阶行列式的性质,例 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.,§2 n阶行列式的性质,性质2.3 即 或,§1 n阶行列式的定义,证 第一式 再由性质2得第二式. 推论2.1 行列式的某一行(列)的公因子可提到行 列式的外面.,§2 n阶行列式的性质,性质2.4 即,第j行,第i行,§2 n阶行列式的性质,或,§1 n阶行列式的定义,证 第一式 再由性质2得第二式.,§2 n阶行列式的性质,例 推论2.2 行列式有两行(列)相同，则行列式的值 为零。 证 设行列式D的第i行(列)与第j行(列)相同，则,§2 n阶行列式的性质,例 推论2.3 行列式有两行(列)对应元素成比例，则 行列式的值为零。 证 设n阶方阵A的第i行与第j行对应元素成比例， 即 ajs=kais (s=1,2, ,n)，若k=0,结论成立，若k 0, 则B的第i行(列)与第j行(列)相同， (由性质2.2知列的情形也成立),§2 n阶行列式的性质,例,=0,-2r1+r2,§2 n阶行列式的性质,性质2.5 即,§2 n阶行列式的性质,或 证 由性质2.1及推论2.3得到.,§2 n阶行列式的性质,例1,§2 n阶行列式的性质,例2,§2 n阶行列式的性质,例3 计算行列式 解,§2 n阶行列式的性质,2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 A=nA ； AB=AB ； Am=Am . 注 一般的A+BA+B ； 虽然ABBA，但AB=BA ； 由推得，下证 ,§2 n阶行列式的性质,证明 A=nA ； 证 设A=(aij),则,§2 n阶行列式的性质,证明 AB=AB ； 证 设A=(aij), B=(bij), 由上节例4知D=AB， 另一方面,§2 n阶行列式的性质,(证毕),§2 n阶行列式的性质,本节学习要求 熟悉行列式的性质与方阵的性质，熟练计算行列式的值。 作业：习题2.2(A) 第1(1)(3)题 习题2.2(B) 第1(1)(3)题,§3 展开定理与行列式的计算,本节教学内容 1. 行列式按一行(列)展开定理 2. Laplace定理,1.行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式,§3 展开定理与行列式的计算,Mij称为aij的余子式,Aij称为aij的代数余子式,§3 展开定理与行列式的计算,定义3.1 在n阶方阵A=(aij)的行列式A中，划掉元 素aij所在的第i行和第j列后，留下的元素排成的n-1 阶行列式Mij称为元素aij的余子式，Aij =(-1)i+jMij称 为元素aij的代数余子式. 定理3.1 n阶方阵A=(aij)的行列式 其中Aij为元素aij的代数余子式. (证略),按第i行展开,按第j列展开,§3 展开定理与行列式的计算,例1,§3 展开定理与行列式的计算,#,§3 展开定理与行列式的计算,例2计算行列式,§3 展开定理与行列式的计算,解 按第一行展开,§3 展开定理与行列式的计算,例3 证明Vandermonde(范德蒙德)行列式 右边表示满足1ijn的所有xj- xi作连乘. 如,§3 展开定理与行列式的计算,证(数学归纳法),§3 展开定理与行列式的计算,则,§3 展开定理与行列式的计算,#,§3 展开定理与行列式的计算,例4 计算行列式 解 当x=0或y=0时,D=0,下设xy0,§3 展开定理与行列式的计算,注 此法称加边法.,§3 展开定理与行列式的计算,例4 计算行列式 另解,§3 展开定理与行列式的计算,定理3.2 设n阶方阵A=(aij), Aij为aij的代数余子式 当i j时，ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn=0； a1iA1j+ a2iA2j + + aniAnj =0； 证 将A按第j行展开，得,再用aik代换ajk, 得,ai1,ai1,ai2,ai2,ain,ain,0=,同理可证列的情形.,§3 展开定理与行列式的计算,例5 设4阶行列式A中a12=2, a22=m, a32=k, a42=3; M12=1, M22=-1, M32=1, M42=-1; A14=3, A24=1, A34=4, A44=2，且A=1，求m,k的值。 解 M12=1, M22=-1, M32=1, M42=-1，知 A12=-1, A22=-1, A32=-1, A42=-1， 由定理3.1和定理3.2得 解之得m=4,k=-2.,§3 展开定理与行列式的计算,2. Laplace(拉普拉斯)定理 先介绍两个概念 定义3.2 设D是一个n阶行列式，在D中取某k个行 及某k个列(1kn)，由这些行与列相交处的元素构成一个k阶行列式，叫做D的一个k阶子式。 定义3.3 设D是一个n阶行列式，N是D的某个k阶 子式，在D中划去N所在的行及所在的列后，剩下 的n-k阶子式M，称为子式N的余子式。若N所在行 的序数是i1, i2, , ik，所在列的序数是j1, j2, jk， 叫做N的代数余子式。,§3 展开定理与行列式的计算,例 设 则,§3 展开定理与行列式的计算,例 设 则,§3 展开定理与行列式的计算,定理3.3 (Laplace拉普拉斯) 设D是一个n阶行列 式，在D中取定某k个行(1 kn-1)，则含于此k行 的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于D. 注1. 此定理通常说成行列式按某k行展开；同理 行列式也可按某k列展开. 2. 定理3.1是Laplace定理的特例. 3. n阶行列式D中取定某k个行，含于此k行的所有 k阶子式共有 所以只有这些子式大部分为0 时，应用定理才方便. 4.第一节例4是Laplace定理的特例，即,§1 n阶行列式的定义,推论,§3 展开定理与行列式的计算,例7 计算行列式 解 取定2,5列展开,§3 展开定理与行列式的计算,例8 计算 解：,§3 展开定理与行列式的计算,本节学习要求 掌握行列式按一行(列)展开定理，熟练它去计算行列式的值，理解 Laplace定理，会用它对行列式作简便计算。 作业：习题2.3(A) 第1(1),2(3)题 习题2.3(B) 第1(2),2(1)题,