全微分在数值计算中的应用
25页1、第八章,*二、全微分在数值计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (充分条件),证:,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到, 故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm
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