概率统计第1,2章

1、第1节 随机事件,、随机事件的概念,确定性现象和随机现象. 确定性现象 在一定条件下必然会出现某一结果，这种现象称为确定性现象.随机现象 在一定条件，可能出现的结果不止一个，且预先无法确定出现哪个结果，这种现象称为随机现象.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支.,第一章,随机事件及其概率,对随机现象进行观察的过程称为随机试验,简称试验. 它有如下三个特征：1.试验可以在相同条件下重复进行；2.试验的所有可能结果是已知的,且不止一个；3.每次试验都恰好出现这些结果中的一个,但在试之 前不能确定出现哪个结果.,例1 在抛硬币的试验中,如果用1表示“正面向上” 这一结果,用 表示“反面向上”这一结果，则这个试验的样本空间为=1,2. 例2 一袋中有十个外形相同的球,分别标有号码1,2,10,),从袋中任取一球,用1表示“取得第i号球”（i=1,2,10,),则这个试验的样本空间为=1,2 ,10.例3 测量某种电子元件的使用寿命，用t表示“电子元件的寿命为t小时”,则这一试验的样本空间为=(0,+).,我们经常需要关注样本空间的子集,例如,在例2中,如果关心“取 得的球的号

2、码为奇数”这一事件,就要考虑 的子集,在例3中,如果规定电子元件的寿命在1000小时以上为合格品,则要考虑 的子集,定义1 样本空间 的某个子集称为一个随机事件,简称事件.通常用大写英语字母表示随机事件.在一次试验中,当且仅当随机事件A包含的某个基本事件出现时,称A发生（或出现）.,把基本事件 与事件 等同看待,于是,基本事件也是随机事件. 空集 称为不可能事件,它在每次试验中都不会发生 本身称为必 然事件,它在每次试验中都必然发生.,二、事件间的关系与运算1.事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生，即A中的样本点都在B中,则称A包含于B,或B包含A,记为A B.2.事件的相等 如果 且 ,即A与B包含完全相同的样本点，则称事件A与事件B相等，记为A=B.,3.事件的和 “事件A与事件B至少有一个发生”这一 事件称为A与B的和，记为A+B.A+B是由A与B的所有样本点构成的集合.类似地,“事件 至少有一个发生”这一事 件称为 的和，记为 .,4.事件的积 “事件A与B同时发生”这一事件称为 A与B的积，记为AB.AB是由A与B的所有公共样本点构成的集合.类似地,“事件 同时发生”

3、这一事件称为的 积，记为 .,5.事件的差 “事件A发生而事件B不发生”这一事 件称为A与B的差，记为A B.AB是由属于A 但不属于B的那些样本点构成的集合.,7. 逆事件 设 A是一个事件，称事件 为的逆 事件，记为 ，即 . A与 满足,8. 完备事件组 如果事件 两两互不相容 , 且 ,则称 构成一个完备事件组.,6.互不相容事件 如果事件A 与B不能同时发生， 即 AB= ,则称A与B互不相容.,例4 设A,B,C,D是四个随机事件,试用它们的运算表示下列事件:1. A, B发生,而C, D不发生;2. A, B, C, D中至少有两个发生;3. A, B, C, D中恰有两个发生;4. A, B, C, D都不发生.解 1. 2. AB+AC+AD+BC+BD+CD3. 4.,例5 设 表示“第一次射中目标”, 表示“第二次射中目标”, 表示“第三次射中目标”. 试用语言表述下列事件:1. ; 2. ; 3. .,解 1. 表示“前两次射中目标而第三次未射中目标”;2. 表示“至少有一次未射中目标”;3.表示“三次都未射中目标”. .,第2节 随机事件的概率一、概率的统计定

4、义随机事件的频率 在观察随机事件A时,设进行了n次重复试验,其 中 A发生了 次,则称比值 为事件A 在这n 次实验中发生的频率, 记作 , 即.,频率有如下性质： 1. 2. ; 3.,在大量重复试验中,同一事件发生的频率并不完全相同,但却在一个确定的数值 p附近摆动而呈现一种稳定性.数值p的大小反映了这个事件发生的可能性大小,称为该事件的概率.,定义1 在大量的重复试验中, 事件A发生的频率一定在某个确定 的数值p附近摆动, 而呈现出一种稳定性.数值p的大小反映了事件A发 生的可能性大小. 数值p称为事件A的概率, 记为P(A) , 即P(A) =p.,上述定义称为概率的统计定义.由频率的性质容易推出概率的下列性质：1. 2. 3.,二、 概率的古典定义有许多随机试验具有下列两个特点：1. 试验的全部可能结果（即基本事件）是有限个,即样本空间是有 限集；2. 各基本事件出现（发生）的可能性相同 . 这种随机试验称为古典随机试验或古典概型.定义2 在古典概型中,如果基本事件总数为n,事件A包含其中的m 个基本事件,则事件A的概率为,例1 同时抛掷两枚均匀硬币,求落下后恰有一枚正面向上

5、的概 率.解 样本空间 =（正，正）,（正，反）,（反，正）,（反，反）.用A表示“恰有一枚正面向上”, 则A=（正，反）,（反，正） . 由于硬币均匀,各基本事件出现的可能性相同,这是古典概型, 所以P(A)= = .,例2 一批产品由8件正品和2件次品组成,从中任取3件,求（1）这3件产品全是正品的概率;（2）这3件产品中恰有1件次品的概率;（3）这3件产品中至少有1件次品的概率.解 用A,B,C分别表示取出的3件产品“全是正品”,“恰有1件正品”,“至少有1件正品”.从10件产品中任意取出3件,共有 =120种等可能的取法,即有120个等可的基本事件.,（1）这3件产品全是正品的取法有 =56 种, 所以P(A)= = ；(2) 这3件产品恰有1件次品的取法有 种 , 所以,P(B)= ；,(3) 这3件产品至少有一件次品的取法有 种,所以.,例3 一袋只有m+n 个外形相同的球,其中 m 个黑球,n个白球,现 每次从袋中任取一球,取后不放回,直到把全部球取完.求第k次 取到黑球的的概率.解 把各次取出的球依次排列起来,则每一种取法对应m+n个球 的一个排列,故基本事件总数为 (

6、m+n)!,第 k次取到黑球的取法共有种.故第k 次取到黑球的概率为,性质1 对任意事件A, 有 性质2,性质3 如果事件A, B 满足 , 则,三、概率的基本性质及加法公式从概率的古典定义,容易推出概率的下列性质及加法公式.,定理1 （概率的加法公式） 对任意两个事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)推论1 如果事件A,B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B).推论1可以推广到多个事件情形,既如果事件 两两 互不相容,则,推论2 对任意事件A,有1,推论3 如果事件A,B满足 ，则,例4 甲、乙两人同时向目标射击, 甲射中目标的概率为0.8, 乙射中目标的概率为0.85, 两人同时射中目标的概率为0.68, 求目标未被射中的概率.解 用A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, 则P(A)=0.8, P(B)=0.85, P(AB)=0.68 所求概率为,=1- P(A+B) =1- P(A)+P(B)-P(AB) =1- (0.8+0.85-0.68) =1- 0.97 =0.03,例5 袋中装有4个黑球和1个白球, 每次从袋中随机地摸出一球, 并换入一

7、个黑球, 连续进行, 求第3次摸到黑球的概率. 解 用 A表示事件“第3次摸到黑球”,则 表示事件“第3次摸到白 球”.先计算 的概率,这是一种有放回的摸球, 连续摸3次球, 基本事件总数为 = 125. 事件 相当于“第1次和第2次都摸到黑球, 第3次摸到白球”故 包 含的基本事件数为 , 所以,根据推论2，得,第3节 条件概率在实际问题中,有时需要求在事件B已发生的条件下,事件A的概 率,由于增加了条件“事件B已发生”,所以称之为条件概率,记作P(A|B).例1 甲、乙车间生产同一种产品,结果如下表所示：,现从这100件产品中任取一件,用A表示“取到正品”,B表示“取到 甲车间生产的产品”.试求P(A),P(B),P(AB),P(A|B).解 由概率的古典定义，容易求得,P(A|B)就是“在已知取到甲车间产品”的条件下, 取到的产品是正品的概率. 由于已知取到的是甲车间产品, 故可能的抽取结果有60个, 而其中有57个结果为“取到正品”, 所以,从例1的计算结果,容易验证,定义1 设A, B是两个事件,且P(B)0, 称 为在事件 B已发生的条件下,事件 A的条件概率.,例2 一袋

8、中有m个白球,n个黑球,无放回地抽取两次,每一次取 一球,求:(1)在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的条件概率:(2) 在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的条件概率.解 用A表示“第一次取到白球”,B表示“第二次取到白球”.(1)袋中原有 m+n个球,其中 m个白球.第一次取到白球后,袋中还 有m+n1个球,其中m1个.为白球.故,(2)袋中原有m+n个球,其中m个白球,第一次取到黑球后,袋中还有 m+n-1个球,其中m个为白球.故,定理1(概率的乘法公式) 设A,B是两个事件,则P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) 或 P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0. 利用数学归纳法,不难把概率的乘法公式推广到多个事件的情形:设,为事件, 则,例3 一批产品共有100件,其中10件次品,无放回地抽取3次,每次取 1件,求第3次才取到正品的概率.解 用 表示“第i次取到次品”,B表示“第3次才取到正品”.则,由概率的乘法公式，得,第4节 事件的独立性,对于两个事件A与B,如果P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),我们就称A 与B相互独立,根据概率的乘法公式,可以证明,对任意两个事件A与B(P(A)0, P(B)0),有,定义1 设A,B是两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B)则称A与B相互独立.,定理 1 如果事件A与B相互独立,则下面三对事件也相互独立：与B； A与 ； 与 .,证明 仅证 与 B 独立.由于,=P(BAB) =P(B)P(AB) =P(B)P(A)P(B) =1P(A)P(B) =,

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